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1、第三章一元积分学第四节定积分的应用及广义积分一．定积分的应用积分有着广泛的应用。在这里我们要掌握（1）直接用公式计算（主要是面积、弧长、体积的公式）（2）用元素法计算。遇到具体问题时，如能直接用公式，我们就用公式去做，如没有现成的公式可用或公式忘了，我们可用元素法去解。元素法同样适用于重积分的应用问题，还可以用元素法建立微分方程，所以说掌握了元素法就可以做到以不变应万变。例１．（1）曲线y2exsinx(x0)与x轴所围成的图形的面积为____．（２）曲线yxsintdt(0x)的弧长为____．0A
2、2exsin
3、x
4、dx(k1)x
5、sinx
6、dx解：（１）所求的面积为2e0k0k(k1)x
7、sinx
8、dx2eketsintdtek(1e)而2ek0A(1e)ek1ee11ee1k0（２）弧长为l01[f(x)]2dx4例２．过点(4,0)作曲线y(x1)(3x)的切线，（１）求切线方程；（２）求由这切线与该曲线及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．解：（１）y2x(x1)(3x)设切点为(x0,y0)，则有2x0y00(x01)(3x0)(x01)(3x0)x04x04x051解得，那么切线的斜率为k23切线方程
9、为y1(x4)，即x3y403（３）旋转体的体积为V41(x4)]2dx35[5(x1)(3x)dx6232下面介绍一下元素法我们先看一个例子例３．求曲线y2xx2与直线y0围成的图形绕直线x3旋转一周的旋转体的体积．Page-1-of8分析：求旋转体的体积是我们熟悉的问题．但本题没有现成的公式好用，应考虑用元素法将所求的体积化为一个积分，然后计算积分得结果．在学习定积分概念时，讲过将曲边梯形的面积化为一个定积分的几个步骤：分割、近似、求和、取极限．用元素法将所求的量化为一个定积分的步骤稍微简化一点：分割、近似后得
10、元素、积分（以得到的元素为被积表达式在相应区间上积分）得结果．先要选好积分变量并确定积分区间，本题中可选x也可选y．若选y为积分变量，则积分区间为[0,1]，分割：在[0,1]上任取一个小区间[y,ydy]，近似：该小区间对应的一小片绕直线x3旋转一周的旋转体的体积V近似为V[(21y)2(21y)2]dy81ydy，从而得体积元素dV81ydy，积分得结果：V111ydy16dV83．若选x为积分变量，00则积分区间为[0,2]，分割：在[0,2]上任取一个小区间[x,xdx]，近似：该小区间对应的小曲边梯形绕直
11、线x3旋转一周的旋转体的体积V近似为Vy[(3x)2(3xdx)2]2(x35x26x)dxy(dx)22(x35x26x)dx，从而得体积元素dV2(x35x26x)dx，积分得结果：V21(x35x26x)dx16dV2．解答过程自己完成．003总结：用元素法求某个量U的一般步骤：（１）建立坐标系，选取积分变量，比如x．确定该变量的变化区间即为积分区间，比如[a,b]．（２）在区间[a,b]上任取一个小区间[x,xdx]，对应该小区间的部分量记为U，找出该部分量的近似值Uf(x)dx，那么得到量U的元素dUf(
12、x)dx．（３）以元素dUf(x)dx为积分表达式在区间[a,b]上积分便得欲求的量UUbdUbaf(x)dxa这里关键是找出元素dUf(x)dx，找元素的思想是：以直代曲，以常代变．例３．设有半径为R的密度不均匀的圆盘．已知其面密度为arb，其中为所考虑的点到圆盘中心的距离，a,b为正常数，求圆盘的质量．解：以圆盘上的点到圆心的距离r为积分工变量，则r[0,R]，任取[0,R]上的一个小区间[r,rdr]，该小区间对应的小圆环的质量近似为M[(rdr)2r2](arb)2r(arb)drPage-2-of8于是质
13、量元素为dM2r(arb)dr，所以圆盘质量为22)RaRbM2r(arb)drR(03注：本题可用二重积分计算。二．广义积分本节主要介绍广义积分的计算及敛散性判定。广义积分的计算也有基本方法和特殊方法，基本方法与定积分差不多但要分清瑕点。广义积分的敛散性判定主要是两个方法（１）用定义，（２）比较法，这一方法适用于被积函数在瑕点附近或无穷远点附近非负（若非正，则加一负号可变为非负），并且与正项级数的比较审敛法相似．若被积函数在瑕点附近或无穷远点附近变号，可考虑是否绝对收敛．这里先要熟悉几个简单广义积分的收敛性：a1
14、dx，（a0），p1时收敛，p1时发散．对于xp01pdx，（a对于0），p1时收敛，p1时发散．ax对于1dx，（a1），p1时收敛，p1时发散．x(lnx)pa例４．求下列积分（１）3f(x)dx,其中f(x)(x1)2(x1),(2)xlnxdx11f2(x)x3(x2)0(1x2)21bdx(3)
15、xa
16、2dx(b0),(4)(n1)221(xa)b
