定积分及其应用.docx

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1、第六章定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分．定积分是高数中的另一个重要概念，它的思想方法适用于非均匀变化同时又具有可加性的量求总和的所有实际问题，以历史上看定积分是为了计算平面上封闭曲线围成的图形的面积而产生，而平面上封闭曲线所围成的平面图形的面积计算，又依赖于曲边梯形的面积的计算。§6.1定

2、积分的概念一、两个实例1、曲边梯形的面积①什么是曲边梯形设yf(x)为闭区间[a,b]上的连续函数，且f(x)0．由曲线yf(x)，直线xa,xb及x轴所围成的平面图形(图6—1)称为f(x)在[a,b]上的曲边梯形，试求这曲边梯形的面积．yyf(x)oax0xi1ixixnb图6—1x我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高f(x)是随x而变化的，1所以不能直接按矩形或直角梯形的面公式去算它的面．但我可以用平行于y的直将曲梯形分多小曲梯形如6—1所示．在每个小曲梯形以其底一点的函数高，得到相的小矩形，把所有些小矩形的面加起来，就得到原

3、曲梯形面的近似．容易想象，把曲梯形分得越，所得到的近似就愈接近原曲梯形的面，从而运用极限的思想就曲梯形面的算提供了一种方法．下面我分三步行具体：(1)分割在[a,b]中任意插入n1个分点ax0x1x2xn1xnb把[a,b]分成n个子区[x0,x1]，[x1,x2]，⋯，[xn1,xn]，每个子区的度xixixi1(i1,2,,n)．(2)近似求和在每个子区[xi1,xi](i1,2,,n)上任取一点i，作和式n(1.1)f(i)xii1(3)取极限当上述分割越来越(即分点越来越多，同各个子区的度越来越小)，和式(1.1)的就越来越接近曲梯形的

4、面(作A)．因此当最的子区的度于零，就有nnf(i)xiA．即Alinf(i)xii10i1例2求速直运的路程某物体作直运，其速度v是t的函数vv(t)．求物体从刻ta到刻tb一段内所的路程s．因vv(t)是量，我不能直接用乘速度来算路程．但我仍可以用似于算曲梯形面的方法与步来解决所述．(1)用分点at0t1t2tn1tnb把区[a,b]任意分成n个子区(图6—2)：[t0,t1]，[t1,t2]，⋯，[tn1,tn]．2每个子区间的长度为tititi1(i1,2,n)．oat0t1t2tn1tnbt图6—2(2)在每个子区间[ti1,ti](

5、i1,2,n)上任取一点i，作和式nv(i)ti．i1(3)当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有nnv(i)tis．即StLimVitii10i1以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念．二、

6、定积分的定义设函数yfx在区间[a、b]内任意插入n1个分点：ax0

7、积分的定义，再强调说明几点：(1)区间[a,b]划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或n的大小来确定．因为尽管n很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小．所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度0，这时必然有n．(2)定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限．尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当0时却都以唯一确定的值为极限．只有这时，我们才说定积分存在．(3)从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数f(x)在[a,b]上有界．因为如果不然，当把[a

8、,b]任意划分成n个子区间后，f(x)至少在其中某一个子区间上无界．于是适当选取介点i，能使f(i)的绝对值任意地大，也就是能使和式(1.1)的绝对值