第六章广义积分及定积分应用

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1、第六章广义积分与定积分的应用I、广义积分一、内容提要(一)广义积分的收敛定义1、无穷积分(积分限为无穷的广义积分)定义设对任意A(A>a),函数/(兀)在［a.A］上可积，如果极限lim存在，则称此极限值为/(兀)在［d,+oo］上的无穷积分，记r十8fa［f(x)dx=lim［f(x)dxJaA—>+8」a此时称无穷积分收敛，否则称无穷积分发散。同样可定义无穷积分：If(x)dx=limIf{x)dxJ—83t-ooJBrCpAIf(x)dx=limI/(x)dr+lim［f(x)dxJ—°°>—ooJBAt+bJc2

2、、瑕积分(无界函数的广义积分)定义对任意£(0v£vb-a),函数/(无)在区间［a,b-E］上可积，且在(b_£,b)上无界(b为瑕点)。如果极限lim［f(x)dx£T(rJa存在。则称此极限值为/(无)在［a,b］上的瑕积分，记作rbpb_£［f(x)cbc=limIf(x)dx此时称瑕积分收敛，否则称瑕积分发散。同样可以定义瑕积分：jQdx，(a为唯一瑕点,xta十时,/(x)T8)f{x)dx+lim[f(x)dx〃T0卜Jc•十〃(c为区间内唯一瑕点，X—C时，f(X)—°°)3、绝对收敛与条件收敛r+8『

3、b(1)绝对收敛：若广义积分

4、f(x)dx(或If(x)Idx)收敛，则JaJa称/(无)在［Q,+oo)(或［d,b］)上绝对收敛(绝对收敛的广义积分,+8则/（兀）木身的广义积分收敛）。(2)条件收敛：若

5、f(x)dxIf{x)dx)收敛，但

6、

7、/(兀)/JaJaJarh（或

8、/（x）

9、dx）发散，则称/（兀）在［d,+x）（或［a.b］）上条件收敛°（二）收敛判别法1、比较判别法（对被积函数不变号的广义积分或绝对收敛的广义积分有效）（1）无穷积分；①设/（X）当X、ci时'为非负函数'£L/（x）

10、)fg{x)dx收敛=>ff(x)dx收敛；JaJa+r+°°2)fMcbc发散=>g(x)dx发散；JaJa②比较判别法的常用形式；K4/*4-00DS

11、/(x)

12、<—，7?>1时，则f

13、/(兀)

14、加

15、攵敛XM^+002)^

16、/(X)

17、<—,p<耐，则［

18、/(朗

19、心发散③极限形式：若/（无）在［q,+x）上连续，且limI/（x）1=I,那么x—>+eb1）当05/<+8,/?〉1时，则

20、/（x）

21、dx收敛；Jarb2）当0l时,则

22、/（兀）

23、必发散。Ja（2）瑕积分（为b唯一瑕点）Mfb

24、①若

25、/（x）

26、W——,（M>0），0vpvl,则］

27、/（x）

28、6k收敛；（b-xYJa芮尹（A/〉0）,八1,则屮（说发散且lim(Z?-x)q/(x)=1x^b~1)当05/v+oo,〃v1时2)当0v/5+oo,pni吋②极限形式（唯一瑕点b）若/（无）在［a.b］上连续,那么ch,则

29、f(x)dx收敛;Jarb,则

30、f(x)dx发散。另外，对瑕点x-a或x=c有类似的结论。2、其他形式的判别法（下面两个判别法常用于判定条件收敛）（1）阿贝尔判別法：若/（无）在［d,+oo］上可积，g（x）单调有界,+

31、f(x)9g(x)dx收敛。（2）狄里克莱判别法：若/（兀）有有界的原函数F（x）=［/⑴力（即存在A/>0,f（t）dt-ooJB归认冷肥IX如）1213陀「h尹r

32、4-oo212同样可得xe~xdx=—e~(Jc2所以fxe~xdx=OJ—co即无穷积分收敛。(2)无=1为瑕点。arcsinefiarcsinx7“zax-limJo-o+jor1一£=limarcsinxd(arcsinx)yJo=lim—(arcsinx)2『—o+21o7T-lim—[arcsin(l-£*)]'=——曲+28故瑕积分收敛。例2判别下面积分的收敛性r+°°dxX22（"加为林解用比较判别法（别积函数在［2,+oo）连续，J1为止）因为当x>2时’（x—］）（］nxr>*（inxr若2=1,则f4

33、-00dxA=lim[ln(lnQ]叮=+只，由比较判别法知原积分发散J2xlnxatz若2V1,则「dx二—L-lim[(ln^V二+ooJ2x(xf]-2原积分也发散。若2>1,而2日⑴）”o又当x>3时，有严dx(x-l)(lnx/<(x-l)[ln(x-l)lA因为Jdx3（T［吨-1）厂厶凹M（Z）严卜