第五章定积分、广义积分.ppt

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1、一、基本概念及结论1.定义：2.可积(充分)条件：第五章:定积分与广义积分(4)定积分的几何意义:曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值abxyooyabxb03.定积分的性质:反之不然例1.估计积分值:解在[1,4]上的最小值、最大值分别为：所以如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点(8)积分中值定理：注4.定积分的计算方法（1）Newton—Leibniz公式：注1：注2Newton——Leibniz公式表明：(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分的问题.(2)定积分的换元积分注：变量不必回代；用凑微分法求定积分时若用同除法（同除一因子），此因子在积分范围内

2、不能为0.（3）定积分的分部积法注：u,dv的选取与不定积分相同；若被积函数中含有变上限积分或被积函数的导数时一般用分部积分。125.广义积分(1)无穷区间上的广义积分(2)无界函数的广义积分(瑕积分)注：广义积分的计算转化为计算一个定积分的极限，极限存在时收敛，极限不存在时发散；（3）性质：123分部积分公式45也有相应的换元法；6789记住以下几个广义积分的敛散性：利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性:6.微积分的常用公式奇函数偶函数(2)若,则二、基本问题及解法问题(一)有关变上限积分的运算★问题(二)：定积分的计算例1.例3.求解：由于被积函数例2.例1计算解:设当时,;当时

3、,于是,例2计算解设定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法与不定积分类同例1计算例2计算解解令例3.计算注:仅当右端两个极限都存在时,左端的积分才收敛.例1.计算解xyo1A另解例2.计算另解注1;右端的极限存在时,左端的广义积分收敛,否则发散.注2：当且仅当上述两个极限同时存在时,广义积分收敛例3:计算广义积分解:因所以另解★问题(三)定积分的应用1.面积的基本公式ooooo2.求面积的步骤:画草图.例１所围成图形的面积.计算由解得交点(0,0)和(1,1)解方程组另解.画草图.得交点计算抛物线与直线所围成图形的面积.例２解.由所求面积为:-24或旋转体就是由一个平

4、面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台2.旋转体体积的基本公式o(底在坐标轴的曲边梯形)(化为底在坐标轴的曲边梯形旋转)oo例1.求圆形绕y轴旋转而成的旋转体的体积.yxo312-2解.所求体积为:201面积问题(四)与定积分有关的证明题又例4.设在上连续，，求证：证明：因为在上连续，所以在上取得最小值和最大值，即《定积分与广义积分》课后练习