两类数列不式的定积分证法.doc

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1、两类数列不等式的定积分证法王文彬(江西省抚州市第一中学344000)有关数列不等式的证明题常常是高考试卷的压轴题，因其证明过程往往会涉及到放缩，因而有较大的难度.本文针对两类数列不等式来探讨其定积分证法.O12nxy图1……3n-1类型Ⅰ形如(为常数)的不等式例1证明.证明：设，则，，故在上为下凸函数.如图1，在区间上个矩形的面积之和为不等式左端式子(除去第一项)，显然它小于相应的曲边梯形的面积即有图2O1xy….例2证明.证明：由于，设，容易验证在区间上为下凸函数.如图2，将区间分成等份，在区间上个矩形的面积之和恰为不等式左端式子，显然它大于相应的曲边梯形的面积，即有.例3证明.证明

2、：将不等式的左边变形为①令，则，，故在内为下凸函数，Oxy图3…于是有①式.由于(显然成立).故原不等式成立.评注：本例有两个关键之处，一是将所证不等式的左边变成①，这样它就能表示个小矩形的面积之和(尽管各矩形的宽不等)，如不作如此变形，因函数的原函数较难求出，因而难以为继；二是在放缩过程中保留了前两项，如保留前一项或各项均都不保留，则精度达不到题目的要求.例4(2003年江苏卷理22)设，如图，已知直线及曲线，上的点的横坐标为.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，的横坐标构成数列.Q1Q2Q3P2P3OClxya1a2a3图4Pa4…P4Q4(Ⅰ)试

3、求与关系，并求的通项公式；(Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）当时，证明.证明：(Ⅰ)直线与曲线的交点为与.点，，因此.(通项公式略)（Ⅱ）由(Ⅰ)知，，故当时有，从而表示个小矩形的面积之和，如图4所示..设，则，即为区间上的单调递增函数，故的最大值为.（Ⅲ）当时，.类型Ⅱ形如的不等式例5(2010年湖北卷理21Ⅲ)证明.分析与证明：不等式的左边是数列的前项和(其中)，如果我们把右边也看作是某一数列的前项和，则，On+1xy图5n当时，(适合此式)，以下我们只要证明即可.②如图5，函数为下凸函数，其中阴影部分面积恰为，显然它大于曲边梯形的面积，故不等式②成立，从而所证不等式成立.Oxy图6例6已知

4、等差数列中，且，证明本例选自文【1】，略有改动.证明：以下只证，左边不等式同理可证.设，并设是数列的前项和，则，当时，.当时，不等式取等号.当时，只要证明即可.这个不等式等价于.如图6，设，容易验证为下凸函数，显然大于阴影部分的面积，故所证不等式成立.例7(2011年四川卷理22Ⅲ)已知函数.试比较与的大小.解：令Onxy图7n-1经测算，可猜测当时有.以下证明③即.令，则，当时，.当时，左边，右边.当时，只要证明即可.此不等式.容易验证为上凸函数，如图6，显然的值大于阴影部分(梯形)的面积，故有③成立..参考文献【1】田寅生.一个不等式的推广、加强及应用.数学通报.2004(2)