定积分的应用探讨-论文.pdf

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1、定积分的应用探讨一I郭朝阳哈尔滨师范大学数学科学学院黑龙江哈尔滨150025【摘要】定积分在数学发展史上具有不可替代的重要位置。本文简要的阐述定积分在代数、几何以及物理学等三方面的应用。【关键词】定积分应用代数几何物理学中图分类号：013文献标识码：A文章编号：1009—4067(2014)15-137—02一二、定积分在几何中的应用、定积分在代数中的应用1．1利用定积分性质证明代数不等式或恒等式定积分可以应用到儿何巾，例如：求平面曲线的弧长、平面图形的例证明：面积、旋转体体积等面。下面将分别举例说明。一+c：+

2、⋯+(一)c：=t+1+++⋯去。2．1平面曲线的弧长证明：由二项式定理知，(1一)=I-C]x+⋯+(一1)于是有例4求圆的渐开线方程／lx=以I。s?int—tCOmSt)上对应于f从0到兀的一段弧的长度。—一+，⋯+(一1)解：对上式两边从0到1对积分，得冈为曲线方程以参数形式给出，所以弧微元为ds=√(t)+y,2(t)dt一c：++⋯+(一)c：=O)=口(一sint+sint+tcost)=atcostY(f)=a(cost—cost+tsint)=atsint==(·++--．+故x(f)+Yn(f

3、)=√口fcost+a2tsint=at，：1+++⋯+故所求弧长公式为S=f(f)+(f)df，23n圆的渐开线方程在0到兀之间的弧长为7／"；dx7／"例2证明：不等式{01——‘。s=tdt=a(=等口，／1一sinX2．2平面图形的而积已知在区间[口，b】上，一条连续曲线Y=f(x)(>0)与直线X=a，证明：欲征不等式，j

4、积S，在区间，hi只要证，在[0'上成立不等式1≤(1一1sin2]，且等号不}：，当0≤g()()，贝0有S=，()c一fg()d．或S=恒成立，则}}j定积分的性质4得所证不等式。1．2利用定积分定义求数列极限值[f(x)一g(x)]dx。利用定积分法求数列极限是一种少见但却行之有效的方法。所谓的如果求两条曲线=()、=(．y)之间所央罔形的而积，也可用定积分法，就是根据定积分的定义，将求和式极限及可以转化为求和式类似的方法。极限的问题，进而转化为求简单的定积分的问题。例5求南曲线v：√，以及曲线在x=l处的

5、切线，以及轴所围例3求数列极限11+1】的值成的图形的面积。⋯+。⋯+l，l+Z，l+，l解：解：曲线：√在x=l处的切线斜率为去，于是曲线：4-；x~l处的切线方程为y-1：一1)，即为=+—n+—1++一n+2+⋯．++n—+—n：：一ncI士1+一l圭1+一Z⋯‘一1l由三部分所围成的图形的面积为=+-1_：吉。k‘()n令f()=—l_一(0sx1)，则由定积分的定义知l喜1‘1一．’“f’：In2(3)0l+图南(1)(2)(3)有2．3旋转体的体积lim[++．．．+2。计算由连续曲线Y=，()，直线

6、=口，x=6与轴所围成的曲边梯n+1+2n十‘形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。2014·15中国电子商务．．137取为积分变量，[a，b】为积分区间。用垂直干轴的一组平行平取水深为积分变量，区分区为【0，口】．设闸门的面积为A，则面将旋转体分割成许多立体小薄片，其断面都是圆，只是半径不同。面积元素dA=ydx．由物理学知道，在水深处的压强为P=pgx任取，b】的一个小区间【，+dx】lt的-d,薄片，它的体积近似于以(表示水的密度，g表示重力加速度)，于是，压力元素dP=pgx·厂()为底面半径，为高的扁圆柱体的

7、体积(图1)，即体积元素为dA=pgxydx=mxf(x)dx。。dV=州厂()】dx。于是，以厂()】dx为被积表达式，在区间[口，b]上因此，整个闸门所受的水压力为P=dP=pgxydx=pgxf()dx。作定积分，便得所求旋转体体积=fao『～厂()】dx=Jr口Jny。3．2功这就是以x轴为旋转轴的旋转体体积公式。从所周知，若物体在不变力F的作用下沿直线移动了距离，则类似地，由连续曲线X：(J，)，直线Y=c，Y=d与轴所同成的曲边梯此过程中力F所作的功为=F．S。如果力是变力()，该公式显然不适用。但当

8、F()连续时，可以在点附近近似将力看作不变的力形绕Y轴旋转一周所围成旋转体的体积为V=r【()】dy=fdy。F()，因而在位移【，+dr】过程中，功的微元为dW=F()dr。可三、定积分在物理学中的应用知，在变力F()作用下物体沿轴由点a到点b过程中，力F所作的3．1水压力功为=F)dx。定积分可以解决水压力的问题．例如计算水库闸门所受的压力等。设闸门如图2所示，当水齐