资源描述：
《一道IMO试题的探究与推广.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、温州市第五届“摇篮杯”数学小论文研究主题：一道IMO试题的探究与推广学校：___________温州市实验中学________________成员姓名：___________陈子翔苏津岳_______________指导师：___________________陈青丰________________二O-----年H^一月一道IMO试题的探究与推广摘要关于一道IMO试题的证明、推广和一些有趣的结论。定义同一折线：若折线AMB与折线A，WB'为同一折线，则M到AB得距离与W到A，W的距离相等。正文题目:在线段AB上任意选取一点M,在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF,这两
2、个正方形的外接圆的圆心分别是P、0设这两个外接圆又交于M、N,(a)求证AF.BC相交于N点:(b)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；(c)当M在A与BZ间变动时,求线段PQ的屮点的轨迹。(第一届IMO试题)证明：(a)证法1、M在AB屮点左右对结论无影响，只需沿AB屮垂线翻折即可,固只需讨论M在AB屮点左侧情况。2ZAMP=45()35(，NFNM」80°_2NFOM='•：/WM+4WM=180°.人N、F三点在一条直线上又•・•在AAMF,AMCB屮,AM=ML：ZAMF=ZBMP=90°；MF=BM•••△AMF今AMCB(SAS).:ZCMB=ZAFM=ZNFM=4BM・・
3、・N、C、B三点一线・："、BC相交于N点证法2：连AF,BC易^ffAFMA^ABMC延长BC交AF于KZFKB=90°=ZBKA=ZFEB=ZCDA・・・FEBK四点共圆,ADKM四点共圆•・•三点确定一个圆・・・K即为两恻交点N•:ACBC交于N(b)设AM=a,BM=b,过N点做垂直于AB的线段NK・•・易证:AANK^AAMFABNK^ABMLNKa-MK•ba••NK_b+MKabNK_a+b相减得MKb_a・•・延长NM与AB的中垂线交于一点中垂线与AB交于一点U.:AMNK^AMFUUF_NK_a+bb-a••a+b~T"a+b：•2不变(c)设PQ屮点离AB的高为hA与h的距
4、离为S'h=22/+方二43・：244,a+bas=--------+-42・・・PQ屮点与AB距离不变a+bAB・・・PQ屮点的轨迹运行为平行于AP的平行线且绐终于4处,长度为2探究与发现：发现一：通过图画,我们惊异的发现DNE似乎也三点一线,也就是说DE、AF.BC三线共点、于一点N°那么是否果真如此?证明：连DN,NE:・ZDNM=ZDCM=90。■c•1VzQZMNE=ZF=9°"■P・：ZDNM+XMNE=80°M・・・N、D、E三点一线结论成立与此同时，我们还发现固定S是以AB为边向下做正方形的外接圆圆心。那么是否对于任意正n边形均成立？我们先举一例特殊情况来进行检验特殊情况的讨
5、论：为了检验猜想的准确性，我们选取了n=3时特殊情况进行探究。n=3时设AM=a,MB二b,AB=k证明:2()(，%%:•ZCNM=ZMND」ZANM=ZMNB二ZACM=60°•:厶N»60°+120°J80°/CNB=60°+120°J80°AT)・・・C、N、B三点共一线:A、N、D三点共一线②以AB为X轴,为原点、0创建直角坐标系x-(6/+-)2H+d(y屁-—ft、)2=(—2/?)2-63'6"'3'相减推岀",0)即M22也即为s③过PFQ分别做PK、FKJQ丄a羽b也FK_玄土H业也2212ab__I--i-24“.a+bk「K°A=---------ci=—ci—.
6、：「44(2丿k(6f+/?)V3轨迹为平行于AB的线段,长为勺，离AB的距离为>2'定但仍为一可由第二问发现S点并不是以AB为边向下做正方形的外接圆圆心。猜想与讨论:于是我们对于以上的发现,我们猜想对于以AM向上做的正n边形与BM向上做的正n边形是否也有(1)各不同的对顶点所连接而成的线段共点交于N。(2)两圆圆心PQ的屮点的轨迹平行于AB.(3)MN所在直线经过AB的屮垂线上的一固定点So普通情况的证明:第一问：必有各不同的对顶点所连接而成的线段共点交于N。证明:如图:以开始,顺时针命名A1A2....................An以Bl开始,顺时针命名B1B2...........
7、....Bn①首先我们证明“、B2、N三点成一线1360°—X------2180°ZANM=nw1360°180°一ZB2NM=—x---------=--------=上A、NM〜2nn.：/V、B2、N三点成一线%%其次我们证明N、Ai三点_线IQA°上MNA^=——=ZMNBn…n・・・N、A“_B“三点一线则％、d+2、N三点一线,B(J+2)180°n%%最后我们证明如果"i、叽N
