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《一道有关面积最值问题的探究与推广》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道有关三角形面积最值问题的探究与推广摘要通过对问题“二次函数y=x2^bx+c的图象与兀轴交于A、〃两点(A在3的左边)，与y轴交于点C,顶点为M,MAB为直角三角形，图象的对称轴为一直线x=-2,点P为抛物线上位于A、C两点Z间的一个动点，求APAC的而积的最大值”的三种不同角度的解答，发现三种解法思路迥异，但都是数形结合，最后殊途同归，并JL1从思路二、三口J看出点的横坐标为-3,由解题过程可知：2点4横坐标为-3,点C横坐标为()，恰好等于土巴，经过对对这个问题的22一般性探究，得到了该问题的一般结论：对
2、于抛物线y=ax2+bx+c(a^O)fA.B为抛物线上任两点，C为4、间的抛物线上任一点，当点C的横坐标等于4、〃的横坐标之和一半时，AA3C面积最大.关键词二次函数三角形面积面积最大值一•问题呈现己知：如图1,二次函数y=x2+bx^c的图象与兀轴交于A、B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C,顶点为M,AMAB为直角三角形，图象的对称轴为直线x=-2,点P为抛物线上位于A、C两点Z间的一个动点，则APAC的面积的最大值为()▲27r11小27D.3A-—B.—C.—428二•问题探究探究思路1如图2,由x=—
3、2得：-匕=-2,即b=4odhAMAB为,且4、2B关于x=-2对称，得MAB为等腰RtA,从而AB=2DM,这样J16—4c=2(4—c),解得c=3.得抛物线的解析式为y=〒+4兀+3,要使APACffi积最大，可过P做AC的平行线/,交y轴于E,当11仅当/与抛物线冇一个交点时，/与4C间的距离最大。设/:y=x+k,联立y=x?+4兀+3与y=x+k得23x2+3x+3-k=0,木从tSA=9-4(3-/:)=0,得k=一，艮卩y=x+—,从而34。£=3-扌=专’所以(Sgc)max=SAACE=XX
4、3=评：这种思路利用了同底等高的两个三角形而积相等的特点，将求APAC的最大面积问题转化为求AACE的最大面积问题，从而简化了计算.探究思路2如图3,由在坐标平面内抛物线内含冇三角形面积的求法公式：S=-水平宽x铅垂高，如思路一求出抛物线的解析式y=F+4x+3,可知2A(-3,0),B(-1,0),从而直线AC的解析式为尸尤+3,过点P作平行于y轴的直线交AC于点D,设P(m,m2+4m+3),贝UD(加，加+3),从而DP=(rn一3)(-m2+4m+3)=-m2-3m,这样由S^PC=*4OxDP得SmPC=
5、*3x(一加2一3加)二_才伽+亍)2+#'所以当加=一寸吋’(S^Qmax=~^'评:这个思路利用坐标线段化的方法,借助于新的面积公式S二丄水平宽X铅垂高,2自然地得到了APAC面积的二次函数关系，从而利用二次函数的性质，较为流畅地求得了结果.距离公式得:3从而当"弓寸,4』分T这样％儿十3探究思路3设P(m,m2+4m+3),由于直线AC:x-y+3=0,所以由点到直线的°m-m"-4m3-+3评：这种解法利用点到直线的距离公式，转化为二次函数求最值，过程简洁明快.综上可知：三种解法思路迥异，但都是数形结合，最
6、后殊途同归，并且从思路二、三可看出点的横坐标为-三，由解题过程可知：点人横坐标为-3,点。横2坐标为0,一丄恰好等于土£,这是一种巧合还是意味着必然？直觉告诉我：22这里面必有其内在的规律•果不其然，经过研究，我得到了该问题的一•般结论.三•问题的推广定理对于抛物线y=ax2+bx+c(a^0)f4、3为抛物线上任两点，C为A、BZ间的抛物线上任一点，当点C的横坐标等于4、B的横坐标Z和一半时，MBC面积最大.证明若d>0,设AgyJ'BgQ'CCwb),且点〃在点A的右侧•如图，过C做直线〃％轴，分别过A、B作4
7、M丄[于M,作BN11于N,贝I」Su〃C=SAMNB_S^MC_^AC/VZ?=一〉‘0)+》2一儿)]・(兀2一西)一㊁(兀。一兀J-®—)b)区一兀0)，©2一『0)=空(丫
8、一丁0)心2一兀0)+空32一儿)心0一州)=£(兀2『1一心『1一兀2北+兀(〃0+兀(』2—西『2—兀0)'()+兀1〉‘0)=-[x2y1-x1y2+x()(y2—yJ+儿(西一D)1I00o=—{x2(ax^+州+c)-xl(ax2~+bx2+c)+x0(6fx,"+bx^+c-ax2~-bx2-c)+(ax02+bx0+c)(
9、xt-x2)J12=—[ax}x2(X]-x2)+c(x2-x,)+axQ(西+x2)(x2-x))+bxQ(x2-x,)+(tzx0+bx0+c)(x,-x2)]=*Q（X]—x2）[x02一（州+兀2）x（）+X{x2]因l(x,-x2)a<0,故当"字时，MBCm积最大，(S^ch严丛宁L22o同理若。<0,S十站_(召+认+牡］,仍然有当"号时，AA
