圆锥曲线中与面积有关的最值问题

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1、万方数据圆锥曲线中与面积有关的最值问题李书庆(浙江省慈溪实验高级中学浙江慈溪315300)摘要：圆锥曲线一章是高考的重要内容之一，圆锥曲线中与面积有关的最值问题是其中的一个考点。08全国及各地高考试卷中求圆锥曲线中平面图形面积最值的问题有海南宁夏卷文15，北京卷理19，福建卷文22，全国I卷理14、文14，全国Ⅱ巷文15。全国Ⅱ卷理21、文22，山东卷丈22，四川卷文11，四川卷理12，海南宁夏卷理14，湖北卷文20，天津卷理21、文22等这里的最值一般都不能使用几何法求解，只能建立目标函数，再应用均值不等式求出目标函数的最值。由

2、于这类题目灵活多变，面积公式也较多。因此考生解题往往感到很棘手。下面我对2008年解析几何高考题的解法作一下探讨。关键词：圆锥曲线最值问题中圈分类号：G63＆6文献标识码：C文章编号：1671—8437(2009)2—0077—011三角形有一个角为定值。用面积公式S=i1otbsinC(北京卷理19)已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2--_4上，对角线BD所在直线的斜率为l。(I)当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；(II)当／ABC=600时。求菱形ABCD面积的最大值。解：(I)略(II)因为四边形AB

3、CD为菱形，所以AC上BD，于是可设直线AC的方程为y=一X+rl。由卜3y‘--4得4x2—6nx+3n2--4：0。ty=-x+n因为A，C在椭圆上，所以△=一12n‘+64>0，解得一尘互

4、2+16)(-竽0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点。(I)若一ED--6一DF，求k的值；(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值。、解：依题设+得椭圆的方程为}2y2=1直线AB。EF的方程分别为x+2

5、y=2，y=l【】【(1c>0)．，·一。綮。鬻g／≯0．一／如图，设D(xo，kxo)，E(x1，kxl)，F(x2，kx2)，其中xI<】【2，且xI，X2满肪程(1+4k2)x2---4,iRx：=-xj-寿／。①、lJdL‘根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为．Ixl+2kxl一212(1+2k+Vl“f)11．=——o—————‘——一=———————；=：=======——一‘、／5’、／5(1“kz)112：—Ix2+2k，x2-21：弛萼型擘盟‘、／5、／5rl“f)5LIABI：、／孑百：、

6、／可。所以四边形AEBF的面积为耻lAB}¨z净孚意等2器佴I-t-4手k2+4k≤2订当2k=l，即当k=下1时，上式取等号．所以S的最大值为2二、／丁。本题是解析几何的综合题，以解决几何中最基本的直线与椭圆位置关系为载体考查了解析几何的基本思想以及函数的最值问题．若没发现AB为定值单从几何性质及代数方法解决就会增加难道。3边角均非定值。用面积公式S=iIcr,h(山东卷文22)已知曲线C。：一Ixl+婴：1@>b砌所围威的封闭图形的面积为4X／5，曲线cl的内切圆半径为兰萼￡。记C2为以曲线cI-qffz标轴的交点为顶点的椭圆

7、。(I)求椭圆C：的标准方程5(Ⅱ)设AB是过椭圆C，中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是1上异于椭圆中心的点。(1)若IMOI=MOAI(O为坐标原点)，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；(2)若M是I与椭圆C，的交点，求AAMB的面积的最小值．解：(I)由题意得椭圆的标准方程为}+}=1。(II)(1)略(2)假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx(k≠o)，A(x．，YA)解方程组良p得￡=嚣嘉嘉，一77—万方数据vot-凇．舞慧熹州⋯。9因为1是AB的垂直平分线，所以商线I的方程

8、为y：一旦x，(II)若AB为季直于x轴的挈k弦。直线l：x=4与x轴交于点N，直即k=-一生，线AF与BN交于点M。由隘+4。-I艄x：：筹赢：嚣，ly一}x4+5k5础‘所以

9、oAl2：。：+y：：垫Q粤上，IABl2--410A(=必，r,2