圆锥曲线中面积的最值问题

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1、圆锥曲线中面积的最值问题1(本小题共14分)已知抛物线y2=4x，点M(1,O)关于y轴的对称点为W,直线/过点M交抛物线于两点.(I)证明：直线心,MB的斜率互为相反数；(II)求AANB面积的最小值；(III)当点M的坐标为(m,O)(m>0,且加工1).根据(I)(II)推测并回答下列问题(不必说明理由)：①直线的斜率是否互为相反数？②AA7VB面积的最小值是多少？2.(本题满分14分)已知椭圆二+与=l(o>b>0)的离心率为虫，长轴氏为2徭，直线l:y=kx+mcrb~3交椭圆于不同的两点A、Bo(1)求椭圆的方程；(2)求m=l,且刃•OB

2、=(),求£的值(0点为坐标原点)；(3)若坐标原点0到直线/的距离为』3,求AAOB面积的最大值。23.(本小题共14分)已知椭圆的中点在原点0,焦点在x轴上，点A(-2a/3,0)是其左顶点，点C在椭圆上且疋・CO=0,

3、AC

4、=

5、CO

6、.(I)求椭圆的方程；(II)若平行于C0的直线/和椭圆交于M,N两个不同点，求ACMN面积的最大值，并求此时直线/的方程.Ax2V24.已知椭圆E：—+=1,点P(x,y)是椭圆上一点。(1)求x2+y2的最值。(2)若以边形ABCD内接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求以边形面积的最大值。5.设直

7、线/:y=Z:(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a>0)相交于久〃两个不同的点，与无轴相交于点G记0为樂标原点.⑴证明••宀吋(TT)若AC=2CB^AB的面积取得最大值时的椭圆方程.6.如图，已知G)OZ：.V6〕x+y+——mC3=4/w2(m>0)及点M，在QOf上任取一点M'，连MM',并作MM'的中垂线1,设1与O'M'交于点P,若点M'取遍OO'上的点.(1)求点P的轨迹C的方程；(I)求。的取值范围；(II)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△/V&B面积的最大值.8、如图，已知在矩形4BCD中,C(4,4),点4在曲线x2+y

8、2=9(x>0,y>0)上移动,且ABfBC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.29.已知椭圆才+b=1的左、右两个顶点分别为4B,直线x=t(-2

9、,yI）,B（x2,y2）,则兀］+x2=—万一,x}x2=1.・•・加2=一4灯”*+缶务+黑4［牙（衣+4）+%（畀+4）］（）彳+4）（y；+4）4（-4y2+4j1-4y1+4y2）=（y；+4）（y；+4）一•又当/垂直于x轴时，点关于x轴,显然kNA+kNB=0,kNA=—kNB.NB••••AANB面积的最小值等于4.』4（X+兀2）+8综上，kNA4-kNB=0,kNA=-k10分（III）推测：®kNA=-k②AA/VB面积的最小值为4加J万•14分2解：（1）设椭圆的半焦距为c,V6依题意彳解得c=42由a~=h24-c2=1.2

10、分r2・・・所求椭圆方程为亍宀1.3分(2)m=y=kx+.其坐标满足方程］3y=kx+消去y并整理得（1+3/）兀2+6&=0,则4二（6幻2一4（1+3疋）><0>0,一6k1+3疋•••AOOB=0x}x2+y,y2=xAx2+(也］+1)-(kx2+1)=(1+^2)^%2+£(旺+x2)+17分=(1+£2)x0+£・-6k1+3疋l-3Zr23/+1=038分⑶由已知二匣，TiVF23可得加2=-（Z：2+l）9分4将y二也+m代入椭圆方程，整理得(1+3k2)x2+6kmkx+3m2-3=0.A=(6km)2-4(1+3/)(3加2_

11、3)>0(*)•I%!+X2=_6km1+3/123m2-31+3/••」叫（1+叽一严（1“）需12(m2-l)3/+112伙2+1)(3/+1_m2)3(/+1)(9疋+1)□分(3/+1)(3/+1)2Qk21?I?=3+—=3+二——<3+—=4伙工0)12分9疋+6宀1加+1+62x3+6k2当且仅当9疋=-Lk即k=±—时等号成立,3经检验，k=±—满足（*）式3当k=0时，

12、AB二馆13分综上可知lABIn和=2・•••当

13、AB最大时,AAOB的面积最大值⑴心当卑】4分223解：（I）设椭圆的标准方程为二+与=1（。＞〃＞0）,cr•・

14、•左顶点A(-2a/3,0),AC丄CO」AC

15、=

16、CO

17、.・・・q2=12,点C(-V3,a