圆锥曲线中的最值问题

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1、圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质1.(文)已知F是椭圆+=1的一个焦点,AB为过其中心的一条弦,则△ABF的面积最大值为(  )A.6B.15C.20D.12[答案] D[解析] S=

2、OF

3、·

4、y1-y2

5、≤

6、OF

7、·2b=12.2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为(  )A.1   B.   C.2   D.2解析:设椭圆+=1(a>b>0),则使三角形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点,∴S=×2c×b=bc=1≤=.∴a2≥2.∴a≥.∴长轴长2a≥2,故选D.3、(文)(201

8、1·山东省临沂市质检)设P是椭圆+=1上一点,M、N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则

9、PM

10、+

11、PN

12、的最小值、最大值分别为(  )A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12解析:由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点,且

13、PF1

14、+

15、PF2

16、=10,∴(

17、PM

18、+

19、PN

20、)min=10-2=8,(

21、PM

22、+

23、PN

24、)max=10+2=12,故选C.点评:∵圆外一点P到圆上所有点中距离的最大值为

25、PC

26、+r,最小值为

27、PC

28、-r,其中C为圆心,r为半径,故只要连接椭圆上的点P与两圆心M、N,直线PM、PN

29、与两圆各交于两点处取得最值,最大值为

30、PM

31、+

32、PN

33、+两圆半径和,最小值为

34、PM

35、+

36、PN

37、-两圆半径和.4、(2010·福州市质检)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(  )A.5B.8C.-1D.+2[答案] C[解析] 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y-4)2=1的圆心为C(0,4),设点P到抛物线的准线距离为d,根据抛物线的定义有d=

38、PF

39、,∴

40、PQ

41、+d=

42、PQ

43、+

44、PF

45、≥(

46、PC

47、-1)+

48、PF

49、≥

50、CF

51、-1=-1.5

52、、已知点F是双曲线-=1的左焦点,定点A的坐标为(1,4),P是双曲线右支上的动点,则

53、PF

54、+

55、PA

56、的最小值为________.解析 如图所示,根据双曲线定义

57、PF

58、-

59、PF′

60、=4,即

61、PF

62、-4=

63、PF′

64、.又

65、PA

66、+

67、PF′

68、≥

69、AF′

70、=5,将

71、PF

72、-4=

73、PF′

74、代入,得

75、PA

76、+

77、PF

78、-4≥5,即

79、PA

80、+

81、PF

82、≥9,等号当且仅当A,P,F′三点共线,即P为图中的点P0时成立,故

83、PF

84、+

85、PA

86、的最小值为9.故填9.答案 96、已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是()A.2B.3C.D.【解析1】直线为

87、抛物线的准线,由抛物线的定义知,P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离,故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线8的距离之和最小,最小值为到直线的距离,即,故选择A。【解析2】如图,由题意可知【答案】A二、目标函数法1、椭圆+=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是________.解析:设椭圆上点P到两焦点的距离分别为u、v,则u+v=10,uv=m;设∠F1PF2=θ,由余弦定理可知cosθ=,即u2+v2-2uvcosθ=64⇒m=,显然,当P与A或B重合时,m最大.答案:(-3,0)或(3,0)2、设F1、F2分别是

88、椭圆+y2=1的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值;[解析] (1)由已知得:F1(-,0),F2(,0),设点P(x,y),则+y2=1,且-2≤x≤2.所以·=x2-3+y2=x2-3+1-=x2-2,当x=0,即P(0,±1)时,(·)min=-2;当x=±2,即P(±2,0)时,(·)max=1.3.(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为(  )A.-2B.-C.1D.0[答案] A[解析] 由已知得A1

89、(-1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x≥1),则·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=4x2-x-5.令f(x)=4x2-x-5,则f(x)在x≥1上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取最小值,即·取最小值,最小值为-2.4.(2011·安徽模拟)点A、B分别为椭圆+=1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于

90、MB

91、,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.[解析] (1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0),设点P的坐

92、标是(x,y),则=(x+6,y),=(x-4,y).由已知得消去y得,2x2+

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