圆锥曲线中的最值问题

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1、圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质1.(文)已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为(　　)A．6B．15C．20D．12[答案]　D[解析]　S＝

2、OF

3、·

4、y1－y2

5、≤

6、OF

7、·2b＝12.2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)A．1　　　B.　　　C．2　　　D．2解析：设椭圆＋＝1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S＝×2c×b＝bc＝1≤＝.∴a2≥2.∴a≥.∴长轴长2a≥2，故选D.3、(文)(201

8、1·山东省临沂市质检)设P是椭圆＋＝1上一点，M、N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则

9、PM

10、＋

11、PN

12、的最小值、最大值分别为(　　)A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且

13、PF1

14、＋

15、PF2

16、＝10，∴(

17、PM

18、＋

19、PN

20、)min＝10－2＝8，(

21、PM

22、＋

23、PN

24、)max＝10＋2＝12，故选C.点评：∵圆外一点P到圆上所有点中距离的最大值为

25、PC

26、＋r，最小值为

27、PC

28、－r，其中C为圆心，r为半径，故只要连接椭圆上的点P与两圆心M、N，直线PM、PN

29、与两圆各交于两点处取得最值，最大值为

30、PM

31、＋

32、PN

33、＋两圆半径和，最小值为

34、PM

35、＋

36、PN

37、－两圆半径和．4、(2010·福州市质检)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)A．5B．8C.－1D.＋2[答案]　C[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝

38、PF

39、，∴

40、PQ

41、＋d＝

42、PQ

43、＋

44、PF

45、≥(

46、PC

47、－1)＋

48、PF

49、≥

50、CF

51、－1＝－1.5

52、、已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则

53、PF

54、＋

55、PA

56、的最小值为________．解析　如图所示，根据双曲线定义

57、PF

58、－

59、PF′

60、＝4，即

61、PF

62、－4＝

63、PF′

64、.又

65、PA

66、＋

67、PF′

68、≥

69、AF′

70、＝5，将

71、PF

72、－4＝

73、PF′

74、代入，得

75、PA

76、＋

77、PF

78、－4≥5，即

79、PA

80、＋

81、PF

82、≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，即P为图中的点P0时成立，故

83、PF

84、＋

85、PA

86、的最小值为9.故填9.答案　96、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【解析1】直线为

87、抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线8的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。【解析2】如图，由题意可知【答案】A二、目标函数法1、椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是________．解析：设椭圆上点P到两焦点的距离分别为u、v，则u＋v＝10，uv＝m；设∠F1PF2＝θ，由余弦定理可知cosθ＝，即u2＋v2－2uvcosθ＝64⇒m＝，显然，当P与A或B重合时，m最大．答案：(－3,0)或(3,0)2、设F1、F2分别是

88、椭圆＋y2＝1的左、右焦点．(1)若P是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；[解析]　(1)由已知得：F1(－，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，则＋y2＝1，且－2≤x≤2.所以·＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝x2－2，当x＝0，即P(0，±1)时，(·)min＝－2；当x＝±2，即P(±2,0)时，(·)max＝1.3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)A．－2B．－C．1D．0[答案]　A[解析]　由已知得A1

89、(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在x≥1上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2.4．(2011·安徽模拟)点A、B分别为椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于

90、MB

91、，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．[解析]　(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐

92、标是(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．由已知得消去y得，2x2＋