圆锥曲线中的最值与定值问题

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1、圆锥曲线中的最值与定值问题圆锥曲线中的最值问题【考点透视】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。【题型分析】1.已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值分析：设P（,），,点P到直线AB：x+2y=2的距离∴所求面积的最大值为（椭圆参数方程，三角函数，最

2、值问题的结合）2.已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：（x>0）（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），B（x0，－），＝2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2

3、)，则解得k>1，又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2综上可知的最小值为23.给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。37解：因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义于是为定值其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为所以，当取得最小值时，B点坐标为4.已

4、知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（2）求的最小值和最大值分析：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，∴，显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则∴，根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。当P到P"位置时，，有最大值，最大值为；当P到位置时，，有最小值，最小值为.（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）5.已知P点在圆x2+(y-2)2=1

5、上移动，Q点在椭圆上移动,试求PQ的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时PQ最大，因此要求PQ的最大值，只要求O1Q的最大值.设Q(x，y)，则O1Q2=x2+(y-4)2①因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)②将②代入①得O1Q2=9(1-y2)+(y-4)2因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，37此时【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。6.已知△的面

6、积为，（1）设，求正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），当取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设（2）设所求的双曲线方程为∴，∴又∵，∴当且仅当时，最小，此时的坐标是或，所求方程为（借助平面向量，将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、基本不等式等多个知识点有机的结合起来，综合考察学生应用相关知识点解题的能力）7.如图所示，设点，是的两个焦点，过37的直线与椭圆相交于两点，求△的面积的最大值，并求出此时直线的方程。分析：，设，，则设直线的方程为代入椭圆方程得即令，∴，（）利用均值不等式不能区取

7、“＝”∴利用（）的单调性易得在时取最小值在即时取最大值为，此时直线的方程为（三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调性的综合应用）（从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关。）8．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.【专家解答】（1）法1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.①记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y

8、2)是方程组②的解.将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是设点P的坐标为(x,y),则37消去参数k得4x2+y2-y=0③当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0解