圆锥曲线中的最值与定值问题

圆锥曲线中的最值与定值问题

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时间:2018-08-06

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1、圆锥曲线中的最值与定值问题圆锥曲线中的最值问题【考点透视】圆锥曲线的最值问题,常用以下方法解决:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法解;函数值域求解法:当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值.利用代数基本不等式,结合参数方程,利用三角函数的有界性。【题型分析】1.已知P是椭圆在第一象限内的点,A(2,0),B(0,1),O为原点,求四边形OAPB的面积的最大值分析:设P(,),,点P到直线AB:x+2y=2的距离∴所求面积的最大值为(椭圆参数方程,三角函数,最

2、值问题的结合)2.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件.记动点的轨迹为W.(Ⅰ)求W的方程;(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.解:(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所求方程为:(x>0)(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0,),B(x0,-),=2当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,代入双曲线方程中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0依题意可知方程1°有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2

3、),则解得k>1,又=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=>2综上可知的最小值为23.给定点A(-2,2),已知B是椭圆上的动点,F是右焦点,当取得最小值时,试求B点的坐标。37解:因为椭圆的,所以,而为动点B到左准线的距离。故本题可化为,在椭圆上求一点B,使得它到A点和左准线的距离之和最小,过点B作l的垂线,垂点为N,过A作此准线的垂线,垂点为M,由椭圆定义于是为定值其中,当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立,此时B为所以,当取得最小值时,B点坐标为4.已

4、知椭圆,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,求:(1)求的最小值;(2)求的最小值和最大值分析:(1)A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q,则由椭圆的第二定义,∴,显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点,最小值为。(2)由椭圆的第一定义,设C为椭圆的左焦点,则∴,根据三角形中两边之差小于第三边,当P运动到与B、C成一条直线时,便可取得最大和最小值。当P到P"位置时,,有最大值,最大值为;当P到位置时,,有最小值,最小值为.(数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合)5.已知P点在圆x2+(y-2)2=1

5、上移动,Q点在椭圆上移动,试求PQ的最大值。解:故先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O1时PQ最大,因此要求PQ的最大值,只要求O1Q的最大值.设Q(x,y),则O1Q2=x2+(y-4)2①因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)②将②代入①得O1Q2=9(1-y2)+(y-4)2因为Q在椭圆上移动,所以-1£y£1,故当时,37此时【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。6.已知△的面

6、积为,(1)设,求正切值的取值范围;(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),当取得最小值时,求此双曲线的方程。解析:(1)设(2)设所求的双曲线方程为∴,∴又∵,∴当且仅当时,最小,此时的坐标是或,所求方程为(借助平面向量,将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、基本不等式等多个知识点有机的结合起来,综合考察学生应用相关知识点解题的能力)7.如图所示,设点,是的两个焦点,过37的直线与椭圆相交于两点,求△的面积的最大值,并求出此时直线的方程。分析:,设,,则设直线的方程为代入椭圆方程得即令,∴,()利用均值不等式不能区取

7、“=”∴利用()的单调性易得在时取最小值在即时取最大值为,此时直线的方程为(三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调性的综合应用)(从特殊入手,求出定点(定值),再证明这个点(值)与变量无关。)8.设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求(1)动点P的轨迹方程;(2)的最小值与最大值.【专家解答】(1)法1:直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.①记A(x1,y1),B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y

8、2)是方程组②的解.将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0,所以于是设点P的坐标为(x,y),则37消去参数k得4x2+y2-y=0③当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0解

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