高考圆锥曲线中的最值与定值问题求解策略

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1、高考圆锥曲线中的最值与定值问题求解策略高考圆锥曲线中常见的的最值与定值问题及求解策略会泽县第一中学郭兴甫会泽金钟第二中学唐孝敬圆锥曲线是高中数学屮的重耍内容，是高考命题的热点。从近年全国各地的高考命题命题来看，题型既有选择题、填空题，也有解答题，一般在选择题、填空题上突出考查圆锥曲线的概念与性质的灵活运用，在解答题上考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，在此基础上进一步考查探究圆锥曲线中的定值，最值问题及求解策略。为帮助同学们在高考复习屮更具针对性，提高复习效率，本文对近年高考圆锥曲线中的定值及最值问题常见类型分析说明，以期对同学们的复习有所帮助！一、考查圆锥曲线弦的斜

2、率与弦的中点以原点连线斜率乘积为定值x2y2例1(2015年全国高考卷II)己知椭圆C:2?2?l?a?b?0?的离心率为，点ab2?在(：上.(I)求C的方程；(II)直线I不经过原点0,且不平行于坐标轴」与C有两个交点A,B,线段AB中点为证明：直线OM的斜率与直线I的斜率乘积为定值.42分析：(I)?2?2?1?求得a2?8,b2?4,a2ab222由此可得C的方程.(II)把直线方程与椭圆方程联立得2k?lx?4kbx?2b?8?0.,??所以xM?xl?x2?2kbbyl?2,yM?kxM?b?2/于是kOM?M??,22k?12k?lxM2kl?kOM?k??

3、.242解：(I)由题意有?,2?2?1,解得a2?8,b2?4?所以椭圆C的方程为a2abx2y2?2?1.284(II)设直线I：y?kx?b(k?0,b?0),A(xl,yl),B(x2,y2),M(xM,yM),x2y2222把y?kx?b代入2?2?1得?2k?l?x?4kbx?2b?8?0.84故xM?xl?x2?2kbb?2zyM?kxM?b?2,于是直线OM22k?12k?l的斜率kOM?lyMl???即kOM?k??z所以直线OM的斜率与直线I的斜率乘积为定值.2xM2k评注:本题第二问也可以利用“点差法”求解,即将A(xl,yl),B(x2"2)代入椭

4、圆方程，相减转化而得弦的斜率与弦中点以原点连线的斜率的乘积,该结论也可以推广到双曲线、抛物线中。二、考查以圆锥曲线相关线段的乘积为定值x2y2例2(2016年北京高考题)已知椭圆C2?2?l(a?b?O)A(a,O),abB(O,b),0(0,0),?OAB的面积为1.(I)求椭圆C的方程；(II)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证：AN?BM为定值.分析：(I)根据离心率为lc,即？，?OAB的面积为1,即ab?l,椭圆中2aa2?b2?c2列方程组进行求解；(II)根据已知条件分别求出AN,BM的值，证明乘积为定值.?c3?,?2

5、?a?l解:(I)由题意得?ab?匕解得a?2,b?l.2?222?a?b?c,••x2?y2?l.所以椭圆C的方程为422(II)由(I)知,A(2Q),B(0J),设P(xO,yO),则x0?4y0?4.当xO?O时，直线PA的方程为y?yO(x?2).xO?2令x?0,得yM??2yO2yO,从而BM??yM??.xO?2xO?2yO?lx?l.xO直线PB的方程为y?令y?0,得xN??xOxO,从而AN?2?xN?2?.yO?lyO?lx02y0??y0?lx0?2所以AN?BM?2?22x0?4y0?4x0y0?4x0?8y0?44x0y0?4x0?8y0?8

6、??x0y0?x0?2y0?2x0y0?x0?2y0?2?4.当x0?0时，yO??l,BM?2ZAN?2,所以AN?BM?4.综上，AN?BM为定值.评注：解决定值、定点的方法一般有两利X⑴从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线•应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.三、考查圆锥曲线中弦的斜率的比值或最值问题x2y2例3(2016山东卷)已知椭圆C2?2?l(a?b?0)的长轴长为4,焦距为22ab(I)求

7、椭圆C的方程；(II)过动点M(0,m)(m?0)的直线交x轴与点N,交C于点A,P(P在第一象限)，且M是线段PN的屮点•过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长线QM交C于点B.(i)设直线PM,QM的斜率分别为k,k?,证明(ii)求直线AB的斜率的最小值.分析：(I)分别计算a,b即得.(II)(i)设P(x0,y0)(x0?0,y0?0),由M(0,m),可得P,Q的坐标，进而得到直线k?为定值；kPM,QM直线的斜率k,k?,证明k?为定值.k(ii)设A(xl,yl),B(x2,y2).＜线PA的方程为y?kx?m