高考数学探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题

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1、探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型,将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。一、定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。例1A、B是抛物线Cp>0)上的两点，且OA丄OB,求证:(1)A、B两点的横坐标之枳，纵坐标之枳分别都是定值；(2)直线AB经过一个定点。证明：(1)设A(x,,y,)>B(x2,y2),则y22=2px2。•••乃2•V=2px'•2px2=4p2x{x2=-4

2、p2}^2，•••=-4p2为定值，X,X2=—>^2=4p2也为定值。(2)...y22-y,2=(y2+y,)(y2-y,)=2p(x,-x2),Vx,x2,―=2px2-^>i+y2/.直线AB的方程为:2/?y4/r>I+.••直线AB过定点(2p,0)。MO2例2已知抛物线方程为y=-lx2+/i,点A、B及点P(2,4)都在抛物线上,直线PA与PB的倾斜角互补。(1)试证明直线AB的斜率为定值；(2)当直线AB的纵截距为m(m〉0)时，求APAB的面枳的最大值。分析：这类问题一般运算量大，要注意函数

3、与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。解析：(1)证明：把P(2,4)代入y=-丄x2+/?,得h=6。所以抛物线方程为：2y-4=k(x-2)y—4=k(x—2),由、i7,消去y，得x2+2Ax-4/c-4=0oy=——r+6I2_-4k-4所以—一2一-2k-2因为PA和PB的倾角互补，所以yA=_2众2+4众+4kpB=—kpA=一々，用一k代k，得^=2";2,所以yB=-2k2^-4k+4XA~XR-2Z:2-4Z:+4Sk,2k-2-(-2k-2)4ky=2x+m(2)设AB的方程为y=2

4、x+m(m〉0),由0,解得0

5、2x23+m

6、=亲,所以，S2腳=^

7、AB

8、2.6?2=^.40(8-m).^=2m2(8-m)=8(去m)(去m)(8-m)<8*(

9、)3=

10、y,所以，S□以一当且仅当丄m=8-m,即m=■时，等号成立，故APAB面枳最大值为64。239二、最值问题解决最值的方法：一是

11、代数法，建立目标函数，转化为函数的最值问题，注意到自变量的范围；二是几何法，考虑某些量的几何特征及意义，利用图形性质求解。22例3求椭圆i+L=l上的点P到直线L:x—2y—12=0的最大距离和最小1612距离。方法1:(求切点)设与L平行的直线与椭圆相切于点P(xQ,y0),由椭圆方程3x2+4y2=48得此切线方程3x0x+4y0)，=48,•••女：丄，•••-^=丄，即24y023xo+2)，o=O(1),又3%2+4凡2=48(2),解(1)(2)得切点的坐标为P,(—2,3)P2(2,—3)。设点P到

12、直线L的距离为d,由点到直线的距离公式，得6/max=4^5,方法2:(判别式法)设与L平行的椭圆的切线方程为x—2y+m=0,代入椭圆方程，消去x得16/-12my+3m2—48=0,由△=(-12m)2-4x16x(3m2-48)=0得m2=64，m=±8o当m=8时，切线方程x—2y+8=0,此时；y12/772x163,切点为P,（一2,3）12m当m=—8时，切线方程x—2y—8=0,此时y==切点为P2(2,—3)设点P到直线L的距离为d,由点到直线的距离公式，得＜職=4礼方法3:(参数法)设椭圆上任

13、意一点P(4cos6,2V3sin6),它到直线L的距离为扣^^^=宇

14、81分。4

15、,时，

16、设C(b,—1),由于ZBAC=90°,A(0,3),所以kAC=—ab8kAB*^c=-7=-1，ab=-8oabS-AliC=丄

17、

18、•

19、AC

20、=丄a/“2+4a//?2+16=1a/W+16^z2+4Z?2+64=222128+16(672+^)28，当且仅当即“=±2，/?=不4时AABC面积的2vcrtr值最大为8。三、定点问题处理这类问题有两种方法：一是从特殊入