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《［推荐精品］探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、探讨锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题,是解析几何中的综合问题，是一种典型题型,将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。一、定值问题【决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。例1A、B是抛物线(p>0)上的两点，且OA丄OB,求证:(1)A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；(2)直线AB经过一个定点。证明：(1)设A(召，)[)、B(x2,y2),则=2”斗，y22=2px2。・•)[2j?2=2卩召-2px2=4p2x}x2=~4p2y}y2,二y》=_4p?为
2、定值,=-yy2=4/r也为定值。(2)：yj—)「=(”+)[)(”_比)=2“(兀
3、一禺)，J曲工飞，~~=—p―--___%一X]y,+y2・•・直线AB白勺方程为：)•，_)[=-^—兀+yx=-lP_x__)1+『2儿+『2X+儿X+)‘2=-^-(x-2p),••・直线AB过定点(2p,0)。X+>?2例2已知抛物线方程为y=--x2+h，点A、B及点P(2,4)都在抛物线上,2直线PA与PB的倾斜角互补。(1)试证明直线AB的斜率为定值；(2)当直线AB的纵截距为m(m〉0)时，求△PAB的面积的最大值。分析：这类问题一般运算量丸，要
4、注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。解析：(1)证明：扌巴P(2,4)代入y=-丄扌+爪得h=6。所以抛物线方程为：•2y-4=k(x-2),由0),由y=2x+m1乍，消去y得:V=——JT+6•2x2+4x+2m-12=0,令厶=16—4(
5、2m—12)>0,解得ABl2=5[(x,+dr-4兀內]=5[42一4(2加-12)]=40(8-加),点P到AB的距离.I2x2-4+/nIm“4厉.丙所以，s*\2-1ABI2-d2=丄.40(8-/«)•—=2m2(8一m)445847=8(^m)(^ah)(8-/n)<8-(
6、)3=
7、y，所以,SPAB<->当且仅当”i,即吩等时，等号成立，故"AB面积最大值为畔。二.最值问题解决最值的方法：一是代数法，建立目标函数，转化为函数的最值问题，注意到自变量的范围；二是几何法，考虑某些量的几何特征及意义，利用图形性质求解。22例3求椭圆Z+2
8、1=1上的点P到直线L:x-2y-12=0的最大距离和最小1612距离。方法1:(求切点)设与L平行的直线与椭圆相切于点P(x0,y0),由椭圆方程3x2+4y2=48得此切线方程3勺兀+4儿)，=48,k=~,.•._如=丄，即24儿23心+2儿=0(1),X3jv()2+4y02=48(2),解⑴⑵得切点的坐标为匕(-2,3)P?(2,-3)。设点P到直线L的距离为d,由点到直线的距离公式，得心和=4亦，"mino方法2:(判别式法)设与L平行的椭圆的切线方程为X-2y+m=0,代入椭圆方程，消去x得16y2-12/ny+3m2-48=0,由△=
9、(-12m)2-4x16x(3m2-48)=0得m2=64,m=±8o1c当m=8时，切线方程x-2y+8=0,此时)，=上仝=3,切点为P】(-2,3);•2x161c当m=-8时，切线方程x-2y-8=0,此时)=—=-3,切点为P,(2,2x16--3)设点P到直线L的距离为d,由点到直线的距离公式，得心和=4亦，—&方法3:(参数法)设椭圆上任意一点P(4cos0,2V3sin6),它到直线L的ur.14cos0-4^3sin-1218>/5...71_3..，兀小tr.,距离为d=—=-!!-lsm(—-0)—一I,••当sin(--0=-
10、l时,V55626九严4厉；当sin(£-0)=1时，dmin=^oOJ点评：方法1、方法2可以求出椭圆上的最远点和最近点的坐标，方法3利但求切点的坐标较复杂。用椭圆的参数方程，建立目标函数，简洁明了,例4已知定点A(0,3)点B、C分别在椭圆4x2+—y2=1的准线上运动，当ZBAC=90°时,3求AABC面积的最大值。解：椭圆4x2+—y2=1的两条准线方程分别3•为：y=1或y=-1。点B在直线y=l上且设B(a,1),点C在直线y=-1上且设C(b,-1),由于ZBAC=90°,A((),3),所以kAB=—,kAC=—ab8k.AB•kAC
11、=—=^，吐=一8。abSABC=*AB
12、.
13、2二詁2+4松+16=#专+16/+4戸+64=^J128+1
