探讨圆锥曲线的定值最值与定点问题.doc

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1、探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解读几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解读融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。一、定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。例1A、B是抛物线都在抛物线上，直线

2、PA与PB的倾斜角互补。<1）试证明直线AB的斜率为定值；<2）当直线AB的纵截距为m代入，得h=6。所以抛物线方程为：y－4=k(x－2>，由，消去y，得。b5E2RGbCAP所以，因为PA和PB的倾角互补，所以，用－k代k，得，所以=。<2）设AB的方程为y=2x+m(m＞0>，由，消去y得：，令△=16－4(2m－12>＞0，解得0＜m＜8，，点P到AB的距离d=，所以，=，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故△

3、PAB面积最大值为。一、最值问题5/5解决最值的方法：一是代数法，建立目标函数，转化为函数的最值问题，注意到自变量的范围；二是几何法，考虑某些量的几何特征及意义，利用图形性质求解。p1EanqFDPw例3求椭圆上的点P到直线L：x－2y－12=0的最大距离和最小距离。方法1：<求切点）设与L平行的直线与椭圆相切于点P(x，y>，由椭圆方程得此切线方程，∵，∴，即<1），又<2），解(1>(2>得切点的坐标为P<－2，3）P<2，－3）。设点P到直线L的距离为d，由点到直线的距离公式，得，。DXDiTa9E3d方法2：<判别式法）设与L平行的椭圆的切线方程为x－2y+m=0，代入椭

4、圆方程，消去x得，由△=得，。当m=8时，切线方程x－2y+8=0，此时，切点为P<－2，3）；当m=－8时，切线方程x－2y－8=0，此时，切点为P<2，－3）设点P到直线L的距离为d，由点到直线的距离公式，得，。RTCrpUDGiT方法3：<参数法）设椭圆上任意一点P(4cosθ，sinθ>，它到直线L的距离为，∴当时，；当时，。BxyACO图1·5/5点评：方法1、方法2可以求出椭圆上的最远点和最近点的坐标，方法3利用椭圆的参数方程，建立目标函数，简洁明了，但求切点的坐标较复杂。5PCzVD7HxA例4已知定点A(0，3>点B、C分别在椭圆的准线上运动，当∠BAC=90°时

5、，求△ABC面积的最大值。jLBHrnAILg解：椭圆的两条准线方程分别为：y=1或y=－1。点B在直线y=1上且设B，所以，xHAQX74J0X·=，ab=－8。==，当且仅当，即，时△ABC面积的值最大为8。三、定点问题处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。LDAYtRyKfECxyOFBA图2例5<2001年全国高考）设抛物线

6、准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点。Zzz6ZB2Ltk方法1：设直线方程为，A，B，C，∴，，∴5/5，，，又∵，∴，即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O。dvzfvkwMI1当k不存在时，AB⊥x轴，同理可证。xyFBACDO图3NE方法2：如图2过A作AD⊥l，D为垂足，则：AD∥EF∥BC连结AC与EF相交于点N，则，，由抛物线的定义知：

7、AF

8、=

9、AD

10、，

11、BF

12、=

13、BC

14、，∴.rqyn14ZNXI点评：该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的几何性质，借助平面几何的方法进行推理。解题思路宽，而且几何方法　EmxvxOtOco

15、较之解读法比较快捷便当，从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻性。申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。5/5