圆锥曲线中定值问题的求解策略

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1、锥曲线中定值问题的求解策略黄佳丽在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该几何最具有定值特征.这类问题称为定值问题.这类问题是屮学数学的重要问题，是高考命题的一•个重点，它涉及面广、综合性强，求解这类问题的基本策略是：“大处着眼，小处着手”从整体I:把握问题给出的综合信息和处理问题的函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，并H•恰当的运用待定系数法、相关点法、定义法等基本方法。本文总结了儿种重要的思维策略，策略一：约去参数，立竿见影约去参变数，可得常数（定值），

2、这是证题的重要依据.例1.过双曲线y2-3x2=3的上支上--点P作双llll线的切线交两条渐近线分别于点A,B。求证：OXOB为定值;分析：设出直线AB方程，然后与双llll线方程联立方程组，由于直线与双llll线相切利用判别式为0求得k与b的关系式，再联立直线AB与渐近线的方程表示出州*2与X•匕值从而解决问题。y=kx-^-bz口。=9由解：(1)设直线AB：y=kx+b,b>0,99得伙2_3)兀2+2畑+沪-3=0y~-3x~=33H(),△=(2肋)2-4伙$_3)(/?2-3)=0:.k2+b2=3A(x1

3、,y1),B(x2,y2)O?i>0,y2>0bXi=vn品bby=kx+b由•厂得y=-V3x%2="V3TIy2=HTkb?兀］•兀2=—;=)彳=3兀；，｝'2=3兀;且儿>0,y2>0k°—3:.y,•y2=31%!•x21=3OA•OB=•x2+-y2=2点评：利用向量数量积的处标表示与韦达定理紧密结合起來，通过圆锥曲线与直线方程联立，表达出点的坐标，从而解决问题。本题难度不大，但是命题方向值得思考。策略二：特值探路，方向明确根据特殊性与普遍性（个性与共性）的辩证关系，以特例探路，从特例屮求出几何量的定值，得到

4、启示，从而将问题化归为解儿证明问题，再利用定义、焦半径公式等对一般情形进行证明.例2、已知许,竹是椭圆的两个焦点，M是与许,尸2非共线的椭圆上的点，设I为△MF/?的内心，延长MI与片F?交于N,如图，求证：需^为定值。分析：先取特殊点，找出巴耳的值，再取M是椭圆上任意一点进行验证。NI证明：先取M在y轴上，由角平分线性质得:IM/I_IM/I_IF

5、MI_aNI~I0~F.0~7设M为椭圆上任一点,F]Q交MF?于Q,设IMF21=m,则IMF】1=2a—m,因为瞬二閔二詈丨片NIf2i+if^i

6、MF2+MF,I2a-m2ci所以F}N=-(2a-m),MF}=2a-mfa在厶MF、NIMII_IMF}I_2a-m_aa综上情况,得鈴#为定值。点评：木题是用特姝探路，一般证明的策略，这种从特殊到一般的思维是解决此类问题的思维方式，希望同学们予以关注。由以上可知，对于二次曲线探求定值时，常以曲线的顶点、焦点，相交弦的端点等作为点的特殊位置，而与对称轴平行或垂直的直线作为直线的特殊位置；在推证时，往往要借助于“参数”，将“变量”转化为“常量”，这种转化的难易，既与参数的选择有关，也与证明途经有关策略三：方

7、程思想，巧设参数，整体处理圆锥曲线方程是二元二次方程，增加一个条件即可消去一个参数，化为一元二次方程从而利用韦达定理解决，直接得到定值。22例3、已知A为椭圆二+卑=l（d>b>0）上的一个动点，弦AB、AC分别a2b2过焦点Fj、F2,当AC垂总于x轴时，恰好有

8、4川：卜耳

9、=3:1.（I）求该椭闘的离心率;（II）设AF.=A]F[B,AF2=Z2F2C,试判断人+A是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.解：(I)当AC垂直于x轴时，AF2=—・・・

10、力片1:1AF,1=3:1:AFX=

11、—.从而aa^=2aaa2=2b故沪=C2V

12、V(II)由(I)得椭圆方程为，+2)/=2庆・焦点坐标为片(—b,0),竹(b,0)(i)当AC、AB的斜率都存在时，设人(兀0，儿)』(兀1，儿)1(尢2，为)，则AC所在直线方程为『=代入椭圆方程得(3沪-2hxjy2+2hy()(x()-h)y-h2yl=0x°-b°」3b?-2bx°_F2C-y2b同理入="+2兀()...入+2=6b-(i)若AC丄x轴，则入,=1,2]=3"+-5,这时入+=6~b~(ii)若AB丄x轴则入=1,^2=5,这吋入+人=6综

13、上可知入+人是定值6.点评：这类开放性问题能够使学生的探究能力得到体现，还能够考查基本知识、方法,这种考查捉高了对知识的覆盖率，增加了思维含量，使得试题在冇效度和区分度方面都冇很好的体现。