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《圆锥曲线中定值问题的求解策略》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、锥曲线中定值问题的求解策略黄佳丽在圆锥曲线中,某些几何量在特定的关系结构中,不受相关变元的制约而恒定不变,则称该几何最具有定值特征.这类问题称为定值问题.这类问题是屮学数学的重要问题,是高考命题的一•个重点,它涉及面广、综合性强,求解这类问题的基本策略是:“大处着眼,小处着手”从整体I:把握问题给出的综合信息和处理问题的函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想,并H•恰当的运用待定系数法、相关点法、定义法等基本方法。本文总结了儿种重要的思维策略,策略一:约去参数,立竿见影约去参变数,可得常数(定值),
2、这是证题的重要依据.例1.过双曲线y2-3x2=3的上支上--点P作双llll线的切线交两条渐近线分别于点A,B。求证:OXOB为定值;分析:设出直线AB方程,然后与双llll线方程联立方程组,由于直线与双llll线相切利用判别式为0求得k与b的关系式,再联立直线AB与渐近线的方程表示出州*2与X•匕值从而解决问题。y=kx-^-bz口。=9由解:(1)设直线AB:y=kx+b,b>0,99得伙2_3)兀2+2畑+沪-3=0y~-3x~=33H(),△=(2肋)2-4伙$_3)(/?2-3)=0:.k2+b2=3A(x1
3、,y1),B(x2,y2)O?i>0,y2>0bXi=vn品bby=kx+b由•厂得y=-V3x%2="V3TIy2=HTkb?兀]•兀2=—;=)彳=3兀;,}'2=3兀;且儿>0,y2>0k°—3:.y,•y2=31%!•x21=3OA•OB=•x2+-y2=2点评:利用向量数量积的处标表示与韦达定理紧密结合起來,通过圆锥曲线与直线方程联立,表达出点的坐标,从而解决问题。本题难度不大,但是命题方向值得思考。策略二:特值探路,方向明确根据特殊性与普遍性(个性与共性)的辩证关系,以特例探路,从特例屮求出几何量的定值,得到
4、启示,从而将问题化归为解儿证明问题,再利用定义、焦半径公式等对一般情形进行证明.例2、已知许,竹是椭圆的两个焦点,M是与许,尸2非共线的椭圆上的点,设I为△MF/?的内心,延长MI与片F?交于N,如图,求证:需^为定值。分析:先取特殊点,找出巴耳的值,再取M是椭圆上任意一点进行验证。NI证明:先取M在y轴上,由角平分线性质得:IM/I_IM/I_IF
5、MI_aNI~I0~F.0~7设M为椭圆上任一点,F]Q交MF?于Q,设IMF21=m,则IMF】1=2a—m,因为瞬二閔二詈丨片NIf2i+if^i
6、MF2+MF,I2a-m2ci所以F}N=-(2a-m),MF}=2a-mfa在厶MF、NIMII_IMF}I_2a-m_aa综上情况,得鈴#为定值。点评:木题是用特姝探路,一般证明的策略,这种从特殊到一般的思维是解决此类问题的思维方式,希望同学们予以关注。由以上可知,对于二次曲线探求定值时,常以曲线的顶点、焦点,相交弦的端点等作为点的特殊位置,而与对称轴平行或垂直的直线作为直线的特殊位置;在推证时,往往要借助于“参数”,将“变量”转化为“常量”,这种转化的难易,既与参数的选择有关,也与证明途经有关策略三:方
7、程思想,巧设参数,整体处理圆锥曲线方程是二元二次方程,增加一个条件即可消去一个参数,化为一元二次方程从而利用韦达定理解决,直接得到定值。22例3、已知A为椭圆二+卑=l(d>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别a2b2过焦点Fj、F2,当AC垂总于x轴时,恰好有
8、4川:卜耳
9、=3:1.(I)求该椭闘的离心率;(II)设AF.=A]F[B,AF2=Z2F2C,试判断人+A是否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不是定值,请说明理由.解:(I)当AC垂直于x轴时,AF2=—・・・
10、力片1:1AF,1=3:1:AFX=
11、—.从而aa^=2aaa2=2b故沪=C2V
12、V(II)由(I)得椭圆方程为,+2)/=2庆・焦点坐标为片(—b,0),竹(b,0)(i)当AC、AB的斜率都存在时,设人(兀0,儿)』(兀1,儿)1(尢2,为),则AC所在直线方程为『=代入椭圆方程得(3沪-2hxjy2+2hy()(x()-h)y-h2yl=0x°-b°」3b?-2bx°_F2C-y2b同理入="+2兀()...入+2=6b-(i)若AC丄x轴,则入,=1,2]=3"+-5,这时入+=6~b~(ii)若AB丄x轴则入=1,^2=5,这吋入+人=6综
13、上可知入+人是定值6.点评:这类开放性问题能够使学生的探究能力得到体现,还能够考查基本知识、方法,这种考查捉高了对知识的覆盖率,增加了思维含量,使得试题在冇效度和区分度方面都冇很好的体现。