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《圆锥曲线中定值问题的解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、锥曲线中定值问题的解题策略在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题称为圆锥曲线的定值问题.历年来，高考都青睐于对圆锥曲线中定值问题的考查.定值问题涉及的知识很多，综合性强，能较好地考查同学们对知识的综合运用能力.一、参数的表达式的值为定值例1如图1所示，椭圆CO:+=1(a>；b>；0,a,b为常数)，动圆Cl:x2+y2=t21(b<；tl<；a)•点Al、A2分别为CO的左、右顶点，Cl与CO相交于A，B，C，D四点
2、.(1)求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程.(2)设动圆C2:x2+y2=t22与CO相交于A'，B'，C'，D'四点，其中b<t2<a，tl关t2.若矩形ABCD与矩形A"B'C'D'的面积相等，证明：t21+t22为定值.(1)解：点M的轨迹方程为=1(x<；-a,y<；0).(2)证明：设点A的坐标为(xl，yl)，点Az的坐标为(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，#4
3、xl
4、•
5、yl
6、=41x2
7、•
8、y2
9、，即x21y21=x22y22.由点A,A’均
10、在椭圆上，得b2x21(1-)=b2x22(1-)，即a2(x21-x22）二x41-x42•由tl#t2，知xl^x2,所以x21+x22=a2,从而y21+y22二b2.故t21+t22二a2+b2为定值.小结本题由椭圆与圆的交点坐标的对称性，易得两个矩形的面积，再由点A，A'均在椭圆上，得x21+x22=a2,y21+y22=b2.由于表达式x21+x22与y21+y22的值为定值，所以利用整体不变性，设而不求，从而巧妙消参，这是解这类题目的常用方法.二、点到直线的距离为定值例2在平面直角坐标系xOy中，已知
11、双曲线C1:2x2-y2=l.设椭圆C2:4x2+y2=l，若M、N分别是Cl、C2上的动点，且0M丄0N，求证：点0到直线丽的距离是定值.证明当直线ON垂直于x轴时，
12、0N
13、二1，
14、0M
15、二，则点0到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y=kx(显然
16、k
17、>)，则直线0M的方程为y=-x.由y=kx，4x2+y2二1,得x2=，y2=，所以
18、0N
19、2=.同理
20、0M
21、2=.设点0到直线MN的距离为d.由于(
22、OM
23、2+
24、ON
25、2)d2二
26、0M
27、2•
28、ON12，所以=+==3，即d=.
29、综上所述，可知点0到直线MN的距离是定值.小结在解决定值问题时，引入参数的目的是以这个参数为中介，通过计算发现目标量与参数无关，从而迖到解决问题的目的.三、直线的斜率为定值例3已知椭圆C过点A(1，)，两个焦点的坐标分别为(-1，0)，(1，0).(1)求椭圆C的方程.(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.(1)解：椭圆C的方程为+=1.(解答过程省略)(2)证明：设直线AE的方程为y=k(x-1)+，将其代入+=1，得(3+4k2)x
30、2+4k(3_2k)x+4(-k)2-12=0.设点E的坐标为(xE,yE)，点F的坐标为(xF，yF).由于点A(1，)在椭圆上，所以xE=:yE=kxE+_k.又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，可得xF=，yF，即直线-kxF++k,所以直线EF的斜率kEFEF的斜率为定值.小结在求证动直线的斜率为定值时，关键是将动直线的斜率用参数表示，重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的应用.四、向量数量积为定值例4如图2所示，椭圆有两顶点A(-1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线1与椭圆交于C，
31、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.(1)当
32、CD
33、=时，求直线1的方程.(2)当点P异于A，B两点时，求证：•为定值.(1)解：由已知可得椭圆的方程为+x2=l.直线1垂直于X轴时与题意不符.不妨设直线1的方程为y=kx+l,将其代入椭圆的方程，化简得(k2+2)x2+2kx-l=0.设点C的坐标为(xl，yl)，点D的坐标为(x2，y2)，则xl+x2=-，xlx2=-.由
34、CD
35、二，且
36、CD
37、=，得=，解得k=±.所以，直线1的方程为y=x+1或y=-x+1.(2)证明：直线1与x轴垂直时与
38、题意不符.不妨设直线1的方程*y=kx+l(k矣0且k类±1)，所以点P的坐标为(_，0).设点C的坐标为(xl，yl),点D的坐标为(x2,y2)，由(1)可知xl+x2=-，xlx2=-，直线AC的方程为(x+1),直线BD的方程为乂=(x-1).将两直线方程联立，消去y，得=.由于-l<xl<l，-l<；x2<；l,所以与异号.()
