圆锥曲线中的定点、定值和最值问题

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1、适考素能特训1.[2015•山西质监]己知动点Q与两定点(-^2,0),(品0)连线的斜率的乘积为一点Q形成的轨迹为M.(1)求轨迹M的方程；(2)过点P(—2,0)的直线1交M于A,B两点,JJ.PB=3PA,平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C,D两点，过C,D两点分別作CE,DF垂直x轴于E,F两点，求四边形CEFD面积的最大值.解(1)设Q(x,y),则・二迈=_扣工土萌),2化简得轨迹M的方程为y+y2=1(xH±y/2).(2)由(1)知直线1的斜率不为0,设直线1的方程为x=my-2,代入椭圆方程得(i『+2)y

2、'—4my+2=0,A=8(nf—2).设A(Xi,Vi),B(X2,Y2)»贝1」力+丫2=话盘，①力力=肩4•②由PB=3PA得，yz=3yi.③由①②③可得1^=4.经检验，满足△〉().不妨取m=2,设直线CD的方程为x=2y+n,代入椭圆方程得6y2+4ny+n2-2=0,A=8(6—n2),设C(X3,y3),D(xxyj,…・2n2-2贝0y3+y.i=—rn,丫3旳=久,又由已知及A>0,可得2

3、x3—xi

4、=2

5、y3—yj=2Q12-2『3则S四边形cefd=空Iya+y-i

6、IX3—xt当且仅当n2=

7、3时等号成立.所以四边形CEFD面积的最人值为车.1.[2015•江西师人附屮、鹰潭一屮联考]已知抛物线E：y+（m'+占]・”5+18（i『+却令m"+~2=卩（u22）,则S—Ay）18p~+121u+170是关于u故S.nin=88.当且仅当m=土1时取到最小值88.=2px(p>0)的准线与x轴交于点K,过点K作圆C：(x-2)2+y2=1的两条切线，切点为M,N,皿川=±老.(1)求抛物线E的方程；(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，KOA・6B=

8、(K中0为处标原八、、/•①求证:直线AB必过定点,并求出

9、该定点Q的坐标;②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD

10、fl

11、积的最小值.解(1)由已知得K(—》0)C(2,0).设MN与x轴交于点R,由圆的对称性可知，于是

12、CR

13、=^/

14、MC

15、2—

16、MR

17、2=

18、,'2Y2所以ICK=si代MKC=sitSmR=彳'即2+2=3,P=2,故抛物线E的方程为y=4x.(2)①证明：设直线AB的方程为x=my+t,A(学，yik斗亍，血丿,联立y"=4x得y2—4my—4t=0,贝ljyi+y2=4m,yiV2=—4t.x=my+t929由•0B=~得：一—+yiy2=〔3y】y

19、2=—18或yiy2=2（舍去），即一4t=—18=>t=

20、,所以直线AB过定点Q(#,OJ；②由①得IAB

21、=l+n?

22、y2—yi

23、=yjl+n2•寸16i『+72,同理得，IGD

24、=y2—yii+A-m兰+72,m则四边形AGBD面积S=*

25、ABI・

26、GD

27、=-^/l+m2•y]16m2+72'4+72mi+Am的增函数,1.[2015•洛阳统考]设M是焦距为2的椭圆E：*+^=l(a>b>0)上一点，A,B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为h,k2,且k1k2=-

28、.(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：彩+

29、話=1(a>b>0)上点N(x°,y«)处切线方程为^r+^r=l.若P是庖线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C,D,求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标.解(1)由题意,2c=2,c=l,A(—a,0),B(a,0),设M(x,y),・・・M(x,y)在椭圆E上，・—+話=1,/•a2=2,b2=l.・・•两切线均过点P,又az—b2=c2=l,V・••椭圆E的方程为j+y2=l.(2)证明:设切点坐标为C(xi,yj,D(x2,y2),P(2,t),则切线方程分别为—-Fyiy=l,弋~+y2y=l.・•・总线C

30、D的方程为x+ty=l.对于任意实数t,点(1,0)都适合这个方程,即直线CD恒过定点(1,0).1.[2015・大连双基测试]已知过点(2,0)的直线h交抛物线C：y2=2px(p>0)于A,B两点，直线】2：x=—2交x轴于点Q.(1)设直线QA,QB的斜率分别为ki,k2,求k,+k2的值;(2)点P为抛物线C上界于A,B的任意一点，直线PA,PB交直线12于M,N两点，0M•ON=2,求抛物线C的方程.解(1)设直线h的方程为:x=my+2,点A(xi,yj,B(x2,ya).x=my+2联立方程［2，得厂一2pmy—4p=0

31、,yi+y2=2pm,yi•y2=—4p.ly=2pxy>y22myiy2+4yi+y2"xi+2-^x24-2—myi4-4^~my24-4—myi+4m>^+4—8mp+8mpmyi+4叱+4y)+yo⑵设点P(x°