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《圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题专题训练》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第2讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题一、选择题1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是( )．A．(1,2)B.(1,2]C．(1，)D.(1，]解析 因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.答案 B2．已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若
2、BF2
3、＋
4、AF2
5、的最大值为5，则b的值是( )．A．1 B.
6、 C. D.解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2；由椭圆的定义，可知
7、AF2
8、＋
9、BF2
10、＋
11、AB
12、＝4a＝8，所以
13、AB
14、＝8－(
15、AF2
16、＋
17、BF2
18、)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.答案 D3．(2014·湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )．A.B.C．3D.2解析 设
19、PF1
20、＝r1，
21、PF2
22、＝r2(r1＞r2)，
23、F1F2
24、＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心
25、率分别为e1，e2，则(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2.由得∴＋＝＝.令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，∴max＝，即＋的最大值为.答案 A4．(2014·福建卷)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )．A．5B.＋C．7＋D.6解析 设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝，点C到椭圆上的点Q(cosα，sinα)的距离
26、CQ
27、＝＝＝≤＝5，当且仅当sinα＝－时取等号，所以
28、PQ
29、≤
30、CQ
31、＋r＝5＋＝6，即P，Q两点间的最大距离是6，故选D.答案 D二、填空题5．已
32、知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．解析 由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2.答案 －26．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是______．解析 设P(x，y)，由题设条件，
33、得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，由题意，可得＞1，即＞1，所以e＝＜2，又e＞1，故1＜e＜2.答案 (1,2)7．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________．解析 可知e＝＝1－，e＝＝1＋，所以e＋e＝2＞2e1e2⇒0＜e1e2＜1.答案 (0,1)8．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的
34、交点依次为A，B，C，D，则的值为________．解析 由得x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，xD＝4，∴yA＝，yD＝4.直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．∴AF＝yA＋1＝，DF＝yD＋1＝5，∴＝＝.答案 三、解答题9．(2014·烟台一模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，点A，B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a
35、＞b＞0)，则b＝2.由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)当∠APQ＝∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，PA的直线方程为y－3＝k(x－2)，由整理得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，x1＋2＝，同理PB的直线方程为y－3＝－k(x－2)，可得x2＋2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝，∴kAB＝＝＝＝，所以直线AB的斜率为定值.10．(2014·湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0)，C1的中心和C2的顶点都在坐
36、标原点，过点M(4,0)
