面积最值问题

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1、二、解答重难点题型突破题型八第25题几何探究题类型二 面积最值问题针对演练1.问题探究如果一个正方形的四个顶点分别在三角形的各边上,那么就称这个正方形为此三角形的内接正方形.(1)如图①,△ABC为锐角三角形,请你在锐角△ABC内作一个内接正方形;(2)如图②,在等边△ABC中,边长为2,请你作出其内接正方形EFGH,并计算正方形EFGH的边长;问题解决(3)如图③,有一块圆心角为60°,半径为a的扇形材料AOB,工人师傅为了截取面积较大的正方形以备后期工作使用,选择方案如下:作∠AOB的角平分线

2、,交于点C,取OA、OB、、的中点,并顺次连接,则所得四边形为所截取的正方形,请你尝试探究工人师傅所采取的方案是否能截取面积最大的正方形?若是,请求出该正方形的面积;若不是,请说出你的方案,并写出所截取正方形的最大面积.第1题图2.(2017原创)如图①所示的两个直角三角形中,∠A=∠D=90°,∠B=45°,∠E=30°,用它们进行以下探究活动.探究活动:如图②将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处,并以点D为旋转中心旋转△DEF,使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N

3、两点.(1)当点N是AC的中点时,四边形AMDN是什么图形?(2)试判断在△DEF旋转过程中所形成的△DMN的形状,并说明理由;问题应用:(3)将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的点D处,且BD=2DC=2,以点D为旋转中心旋转△DEF,两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点,在旋转过程中,是否存在MN的值最小,同时使四边形MEFN面积最大的情况?若存在,求出MN的值,若不存在,请说明理由.第2题图3.(2017原创)问题探究:(1)如图①,点A、B分别在直线l1,l2上,且l1∥l

4、2,点M是线段AB的中点,过点M画一条直线,分别交l1、l2于点C、D,使△AMC与△BMD的面积相等;(2)如图②,在△ABC中,过AC边的中点N任意作直线PQ,交BC边于点Q,交BA的延长线于点P,试比较△CNQ与△APN面积的大小,并说明理由;拓展应用:(3)如图③,已知∠MON=60°,点P是∠MON内一点,PC⊥OM于点C,PC=3,OC=6,过点P作一条直线EF,使其分别交OM,ON于点E,F.△EOF的面积是否存在最小值?若存在,求出此最小值,若不存在,请说明理由.第3题图4.我们将

5、能完全覆盖某平面图形的最小正方形称为该平面的最小覆盖正方形.例如圆的最小覆盖正方形就是其外切正方形.(1)请你直接画出如图①中的等腰直角三角形的最小覆盖正方形;(2)请你直接画出如图②中的边长为1的等边三角形的最小覆盖正方形,并求出此正方形的面积;问题解决(3)李大爷现有一个Rt△ABC形鱼塘(如图③),其中∠A=90°,AC=3,AB=4.现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个正方形鱼塘(原鱼塘周围的面积足够大),为节省费用,要求原来位于三个顶点的三棵树在正方形的边上,且这个正方形尽可能的小,请你在

6、图③中画出扩建后的正方形的面积.第4题图5.(2017原创)已知线段AB=4,点P为线段AB上不确定的一点.(1)如图①,分别以AP、BP为边在AB的同侧作等边△APD和等边△PBE,则是否存在一点P,使得△APD和△PBE的面积之和最小,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由;(2)如图②,分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF.①△APM的面积与△CEM的面积有怎样的数量关系?请说明理由;②若AP=m,求△CEM的面积;(用含m的式子表示)(3)如图③,在正方形AB

7、CD中,已知AB=4,若要求平面内一点P,使其满足∠BPD=90°,且tan∠ABP=3,求此时△BPD的面积.第5题图6.(2016西安铁一中模拟)问题探究(1)如图①,AB∥DC,试在射线DC上找一点E,使S四边形ABCD=S△BDE,并指出四边形ACEB是何种四边形;(2)如图②,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=4,将△ABC绕C点顺时针旋转60°得到△A′B′C,补全图形并求出△AA′C的面积;问题解决(3)如图③,在Rt△ABC中,∠A=60°,AB=4,点D在BC边上,且BD=2

8、,点G在AB边上,点E、F在AC边上,线段DE与线段GF交于点O,若DE=GF,∠EOF=60°,试求出四边形DGEF面积的最小值.第6题图答案:针对演练1.(1)【思维教练】先作一个小正方形,使其一条边在三角形的一边上,且有一顶点在另一条边上,然后以B为位似中心,作出与其位似且第四个顶点恰好在第三边上的正方形.解:如解图①所示:在△ABC内先作一个小正方形IJPQ,使得IJ边恰好在BC边上,且点Q恰好在AB边上,连接BP并延长交AC于点G,过点G作GH∥BC,交AB于H点,过点G

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