面积平分问题和最值问题讲义

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1、赵老师一对一授课案教师：学生：日期：星期：时段：课题面积平分问题和最值问题学习目标与分析面积平分的实质、最值问题的模型学习重点掌握模型和题型学习方法例题讲解+强化训练学习内容与过程教师分析与批改最值问题最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。“最值”问题大都归于两类基本模型：

2、Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值.Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：AB′Pl（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型.几何模型：条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．ABECBD图1方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由

3、正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；OABC图2P（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；解：（1）的最小值是（2）的最小值是【典型例题分析】ADEPBC1.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D．BOA·xy2．如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B．(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标.不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之

4、间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”针对练习：1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是（）A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个2、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以A

5、D为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【答案】。【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H。∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•si

6、n∠EOH=1×。由垂径定理可知EF=2EH=。3、如图，在锐角中，，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是________．应用二次函数求最值：例题：（2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质

7、，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解。（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠E