一道典型中考题的探究与推广

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1、一道典型中考题的探究与推广　　如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处。则BC∶AB的值为。这是2012年绍兴市的一道中考题，本题以我们熟悉的图形翻折变换为背景，主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等，得出CC′是∠EC'D的平分线是解题关键。　　诸如此类将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性强。近年来，以矩形为背景的

2、折叠问题在各类考试中屡见不鲜，也是近年中考中的热点问题。　　通常，矩形的折叠问题中折起部分往往是一个三角形或是直角梯形，使矩形的顶点落在不同的位置。根据位置的不同，矩形的折叠问题可以分为以下几类。　　一、矩形中折起的是一个三角形　　1.折叠后，顶点落在矩形的内部　　例1.（2012?遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）　　A.3■B.2■5　　C.2■D.2■　　分析与点评：首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根

3、据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长。此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质。解题中应注意辅助线的作法以及数形结合思想的应用。　　2.折叠后，顶点落在矩形的外部　　例2.（2011?湖南岳阳）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③■=■；④AD=BD?cos45°，其中正确的一组是（）　　A.①②B.②③　　C.①④D.③④　　分析与点评：①直接根据

4、勾股定理即可判定是否正确；②利用折叠可以得到全等条件证明△ABF≌△EDF；③利用全等三角形的性质即可解决问题；④在Rt△ABD中利用三角函数的定义即可判定是否正确。此题主要考查了折叠问题，也考查了勾股定理、相似三角形的性质、全等三角形的性质及三角函数的定义，综合性比较强，对于学生的综合能力要求比较高。　　3.折叠后，顶点落在矩形的边上　　例3.（2012?黔东南州）如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（）　　A.1B.25　　C.3D.4　　分析与点评：由四边形ABCD是矩形与AB=6，△ABF的面积是

5、24，易求得BF的长，然后由勾股定理，求得AF的长。根据折叠的性质，即可求得AD、BC的长，继而求得答案。此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及折叠的性质。此题难度适中，要注意掌握数形结合思想的应用，折叠中的对应关系。　　二、矩形中折起的是一个直角梯形　　此时折起的两个顶点中必有一个落在矩形的外面，而另外一个顶点则存在不同情况。　　1.折叠后，另一个顶点落在矩形的边上（包括顶点）　　例4.（2012?泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（）　　A.9∶4　　B.3∶2　　C.4

6、∶3　　D.16∶9　　分析与点评：设BF=x，则CF=3-x，B′F=x。在Rt△B′CF中，利用勾股定理求出x的值，继而判断△DB′G∽△CFB′，根据面积比等于相似比的平方即可得出答案。此题考查了翻折变换的知识，渗透数形结合的思想。　　例5.（2012?黄石）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（）5　　A.■cm　　B.■cm　　C.■cm　　D.8cm　　分析与点评：本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种轴对称变换。根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键。　　2.折叠后，

7、另一个顶点落在矩形的外面　　例6.（2012?荆门）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2■，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（）　　A.8■　　B.4■　　C.8　　D.6　　例7.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（）　　A.18cm　　B.36cm　　C.40cm　　D.72cm5　　分析与点评：例6、例7都要充分