一道中考题的质疑与探究

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1、一道中考题的质疑与探究河南省鹤壁市山城区实验中学张玉芳13783018931【问题与背景】2009年内江市中考有如下一道填空题：已知RtAABC的周长是4+4^3,斜边上的中线长是2,则SAabc=。木题的出题宗旨，主耍考查学生如下知识：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)勾股定理；(3)対数和、两数平方和与两数积三者之间的关系；(4)数形结合思想。这道填空题出题者可谓煞费苦心，学生既耍考虑各知识点间的内在联系，又要具备灵活应用能力。对于考查学生注重知识的形成过程，领会研究问题的方法有一定的作用,也符合

2、新课改的教育理念。按照其出题宗旨，有如下解法：在RtAABC中，ZC二90°,ZA、ZB、ZC所对的边为a、b、c。由斜边上的屮线长为2,知c=4,故tz2+Z?2=c2=16o由RtAABC的周长是4+4巧,知a+b=4巧。/.ab=-[(a+b)2-(a2+b2)]=1602••Smbc=一ab=8。2【质疑与讨论】在解本题时，多数学生按照上述思路，计算出的面积为8,但少数学生说此题无解,这是为什么呢？难道是题出错了？班里立刻沸腾起来，有的学生说中招题不可能出错，有的说不能迷信权威，众说纷纭，各执一•词。师：首先

3、请有疑问的同学说说解题思路，其他同学认真倾听、分析思路并发表见解。生]:由题意知:a+b二4笛,c二4。根据勾般定理，得：a2+(4^3-a)2=42<>整理，得：a2-4V3a+16=0o△二(-4^3)2-4X1X16=-16<0o・・・此方程没有实数根。即不存在两直角边和为4馆，斜边为4的直角三角形。生2：原来你想到了利用一元二次方程根的判别式，有道理。生3：利用反证法也可以证明。如图1,在RtAABC中，ZACB二90°,CE为AB边上的中线，CE二2,CF丄AB,垂足为F。假设S最大二8成立，出丄XABXC

4、F二8,可得CF二4。2ACF>CEo这与“垂线段最短”相矛盾，故假设不成立。即不存在两直角边和为4巧，斜边为4的直角三角形。生4：就是，我怎么就没有想到验证一卜•呢！生5：我还可以用函数极值法证明。设AABC的面积为S,由a+b=4V3,知b二4的-肌则S二丄a（4V3-a）=--（a-2侖）2+6o22・••当a=2侖时，S最大=6。・・・S二8不成立，即不存在两直角边和为4盯，斜边为4的直角三角形。师：二次函数是一种重要的苗数模型，经常通过建立二次函数模型确眾最大（小）值，灵活运用函数思想会给我们解决数学问题带

5、来很大方便。生7：我们曾经用图2验证过勾股定理。在RtAABC中，易知AE=4a/2,而CD二且+b二4的>4血。・・・CD>AE但实际上CIXAE・・・不存在两直角边和为4羽,斜边为4的直角三角形。生&我有一个疑问，图2中a^b,如果沪b呢？生7：如图3,当沪b时，四边形ACDE是一个矩形，而CD=a+b=4V3,AE=4近。・・・CD>AE,但实际上CI）二AE。・・・不存在两直角边和为4石，斜边为4的直角三角形。师：生7独辟蹊径，联想到教材，思维严谨。baBba图3师：刚才四位同学用四种不同的方法证明了这道填空

6、题的错误，不仅展示了多种数学思想方法，还能从不同的角度认识问题、解决问题。【反思与探究】生9：我们以前曾经做过类似的题冃。女F1：直角三角形中，两直角边a、b的和为8cm,斜边c为V34cm,此三角形的面积为o这个题有没有错？生10：解一下不就知道了。生9：那多麻烦，我们能不能找到这类题目中两直角边之和与斜边满足的关系？师：那我们就共同探究一下。生11：设直角三角形的两直角边分别为3、b,斜边为c。则ab=—[(a+b)2-c2]2/.a>b是方程x2-(a+b)x+—[(a+b)2-c2]=0的两个根。2△二[-(

7、a+b)]2-4X1X—[(a+b)2~c2]=2c2-(a+b)2。2由方程有实数根，知2c2-(a+b)2^0o由c>0,a+b>0,可得迈cNa+b。又a+b>c,故cVa+bWV^c。生12：如图4,当aHb时，易知AE=a/2c,CD二a+b。由CIXAE,知a+bc,故cVa+bW"c生13：当a+b=8,c=a/34时，显然满足cVa+bWV^c,这真是一个不错的结论。这样S冷ab冷

8、X*[(a+b)2一宀2)]=7.5。图4AEbaCaBbD图5【启示】“数学活动是现实情境的仿真，最适合以口主探索、合作交流和动手实践的方式开展发现、探究，是培养学生适应社会和改造社会的综合能力的最佳方式。”在精心创设的问题情境中，学生的数学品质和创新能力得到发展。1、课堂教学应注重学生非智力因索的发展。学生学习的过程是智力因素和非智力因素相