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1、一道中考题的变式与拓展------株洲市枫叶中学张福来（412000）内容摘要：通过一道中考题的变式与拓展，介绍求可展曲面的几何体表面上两点间的最短路线长的思路和方法。关键词：变式、侧面展开成平面图、最短路线长、创新、转化。一些课本数学习题、中考数学试题在平常数学教学中若能变式拓展得当，既能提高学生数学学习兴趣，又能拓展学生的思维，使学生对所学知识和方法能举一反三、融会贯通，进而达到培养学生的创新意识和创新能力的目的。下面举例来说明：原题：如图1，一圆锥的底面直径AB长为4，母线PB的长为6，点
2、D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（）。A.3B.C.D.原题解答：方法1：沿PA将圆锥侧面展开成平面图扇形APA’（如图2）,B为弧AA’的中点，连接AB、AD,则弧AA’所对的圆心角n度满足：good,noloosening.6.5.2DCSsidewiringtocompletetheenclosureandtheothersideafterthewiringiscompleted,DCSwithintheenclosurewhenthepo
3、wermoduleshouldbeloosenedorthepowergoesout.6.6lowvoltagecableterminalmaking6.6.1first7解得n=120即从而所以为等边三角形，∴AD=6sin60。=3即求（∴选D）方法2：如图3作轴截面图，连接AD，作AE⊥PB,垂足为E,设BE=x则42－x2=62－(6－x)2解得x=即BE=DE=∴AD2=DE2+AE2＞BE2+AE2=42∴AD＞4又A、D间的曲线长更大于4,而3、、2都小于4，故选项A、B、C都不符
4、合，只有选D。将原题结论变化，进一步理解和掌握解法1思路变式1：如图1，一圆锥的底面直径AB长为4，母线PB的长为6，一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（）。解：由原题解法1易知蚂蚁爬行的最短路程为图2中的弦AB的长6变式2：如图1good,noloosening.6.5.2DCSsidewiringtocompletetheenclosureandtheothersideafterthewiringiscompleted,DCSwithintheenclosur
5、ewhenthepowermoduleshouldbeloosenedorthepowergoesout.6.6lowvoltagecableterminalmaking6.6.1first7，一圆锥的底面直径AB长为4，母线PB的长为6，点D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到起点A，则蚂蚁爬行的最短路程为（）解：如图4连接A’B，PA’BA由原题解法1思路知四边形PA’BA为菱形，从而AA’=2AD=6，故蚂蚁爬行的最短路程为6。将原题条件和结论都发生变化，进一步使知识
6、和方法得到迁移，理解和融会贯通所学知识和方法。变式3：如图5，一圆锥的底面直径AB长为4和母线PB的长均为2，点D为PB上的一点，且PD=x,一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行到点D的最短路线长为y，则y与x之间的函数关系为()。解：沿PA将圆锥侧面展开成平面图扇形ABA’P（如图6）,B为弧AA’的中点，则弧AA’所对的圆心角n°满足：解得n=180°,即.从而∴AD2=AP2+PD2即y2=42+x2∴y=（）即求。good,noloosening.6.5.2DCSsidewiringto
7、completetheenclosureandtheothersideafterthewiringiscompleted,DCSwithintheenclosurewhenthepowermoduleshouldbeloosenedorthepowergoesout.6.6lowvoltagecableterminalmaking6.6.1first7变式4：如图7，一圆柱的底面半径长为5，母线AB的长为10，用一根细绳从A出发绕圆柱一周到B,问绳子至少要多长？解：沿AB将侧面剪开，展成一个矩形
8、（如图8），连接AB1，易知绳子的最短长为线段AB1的长，即AB1=为所求。练习（2007年怀化市初中毕业学业考试试题第20题）：ＤＣAB第20题图如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为，若一只小虫从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路程是（结果保留根号）变式5：如图9在长方体A1B1C1D1-ABCD中，AB=5，BC=4，BB1=3，一只蚂蚁从A点出发沿长方体表面爬行到C1点，求它爬行的最短路程为多少？good,noloosening.6.5.2DCSsidewiringtoc
