一道习题的变式与反思

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1、探索角例1如图1所示，、分别是中和的平分线。图1试说明。分析：可以先在中，得到，然后再将，代入，就可以用、表示，最后用代换，从而确定与的关系。解：∵、分别平分和，∴，，在中，，∴，在中，，∴。图2说明：（1）此题中与之间的关系并不明朗，解题过程中，要充分利用已知条件，步步转化，最终将与之间的间接关系转化为直接关系。（2）此题另一关键是将与看成一个整体进行变形，这种整体思想也是数学中基本思想方法。变式一：如图2所示，、分别是的两外角平分线，试说明。-6-图3变式二：如图3所示，①，，则；②，，则与是什么关系呢？例2如图4所示，已知，请解

2、答下列问题：（1）图（1）中、、之间具有什么关系？并说明理由。（2）图（2）中的5个角具有什么关系？（3）图（3）中的7个角具有什么关系？你能得出什么一般性质结论。图4（1）（2）（3）分析：（1）由，不能直接得到、、之间的关系，因此需要添加辅助线，过点作，就可以运用两直线平行的性质。（2）可类似（1）的思路进行解答。（3）分析（1）、（2）两小题的结果，寻找一般规律，再归纳出一般结论。图5解：（1）如图5所示，过点作，∵，∴,∴，，∴，即（2）图4（2）5个角的关系是，同样可用作平行线的方法说明理由（请同学们自已动手解决）。-6-（

3、3）图4（3）中7个角的关系是。由此可得一般性结论：奇数号角之和等于偶数数号之和。例3如图6所示，在中，平分，平分的外角，与交于点，（1）①，②，③，分别求的度数。（2）根据以上求解的过程，你发现与之间有什么关系？（3）如图7所示，在中，，延长到，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是多少？图6请同学们自己思考解决图6参考答案：变式二：例3（1）；；。（2）。（3）。由一道习题所想到的-6-解题是创造性的思维活动，因此，同学们不要小看每一个解题过程，在解答数学习题的时候要充分挖掘习题的可变性，

4、从不同的层次、角度思考进行一题多变，这样对拓宽同学们的思维视野，培养大家学习数学的积极性和创造性、发展智力是大有裨益的．例如：题目：已知，如图1，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，过O做DE∥BC交AB于D，交AC于E.求证：（1）∠BOC+∠A；（2）DE=BD+CE.解析：(1)因为，OB平分∠ABC，所以，∠2=∠ABC；123456ADBCEO图1因为，OC分∠ACB，所以，∠4=∠ACB.所以，∠2+∠4=∠ABC+∠ACB=（ABC+∠ACB）=（∠A）=∠A；∠BOC=（∠2+∠4）=（∠A）=+∠A.（2）因为，

5、OB平分∠ABC，所以，∠1=∠2，因为，DE∥BC，所以，∠2=∠3，因此，∠1=∠3，所以，DB=DO.同理，EC=EO.所以，DE=DO+OE=BD+CE.解答完毕，我们不要草草收兵，要进行解题后的再反思，这样做可以提高大家的数学水平．反思1：这里的∠BOC是△ABC两内角平分线的交角，它和∠A的关系是∠BOC=+∠A．如果是△ABC两条外平分线的交角，还是否有这种关系呢？如果是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线的交角，那么这种关系还是否成立呢？我们不妨简单证明一下：如图2、3中∠BOC与∠A的关系并不满足-6-ABCEO

6、12图2ABCDO12图3∠BOC=+∠A，图2中，∠BOC与∠A的关系是∠BOC=∠A，图3中，∠BOC与∠A的关系是∠BOC=∠A．理由如下：如图2，因为，∠DBC是△ABC的外角，所以，∠DBC=∠A+∠ACB，因为，∠ECB是△ABC的外角，所以，∠ECB=∠A+∠ABC，∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A，因为，OB平分∠DBC，所以，∠DBC=2∠1，因为，OC分∠ECB，所以，∠ECB=2∠2，所以，2∠1+2∠2=∠A，所以，∠1+∠2=+∠A，∠BOC=（∠1+∠2）=（+∠A）=∠A（4）如图

7、3，因为，∠ACD是△ABC的外角，所以，∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD－∠ABC=∠A．因为，OB平分∠ABC，∠ABC=2∠1，OC分∠ACD，所以，∠ACD=2∠2所以，2∠2－2∠1=∠A，所以，∠2－∠1=∠A因为，∠2是△BOC的外角，所以，∠2=∠1+∠BOC，所以，∠2－∠1=∠BOC，所以，∠BOC=∠A．反思2：-6-12345ABCEDEO图5如果将题目中的两条内角平分线改成两条外角平分线，或者改成一条内角平分线与一条外角平分线，其他的条件不变，那么DE、BD、CE这三条线段之间的关系是否还成立呢？如图4和5

8、.123456ABCDOE图4观察图4，这种关系还是成立的，即,图5这种关系是不成立的，但图5中它们之间的关系是,理由如下：（5）如图4，因为OB平分∠DBC，所以，∠1=∠2，因为，DE∥BC，所以，∠2=∠3，所以，