对一道向量题的变式探究及反思

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1、42上海中学数学·2014年第6期对一道向量题的变式探究及反思215011江苏省苏州高新区第一中学蔡莹向量是新教材改革增加的内容之一，是近代数一、问题呈现学中很重要和基本的数学概念之一，向量因具有代数和几何的双重性特征，在代数和几何中起到重要(2008年浙江理一9)已知a、6是平面内两个互的桥梁作用．近几年的高考及各地的模拟试卷中，出相垂直的单位向量．若向量C满足(n—c)·(b—C)现了很多向量的小题，解法灵活多样，而学生却往往一0，则IC}的最大值是()望而生畏，这就需要教师引导学生站在更高层次上A．1B．2C．厄去研究题目，“去伪存真”

2、，挖掘题目的背景及本质．D．焦2众所周知，一个命题与其逆否命题是等价的．所再存在了，同时“条件和结论互换后的命题”又产生以原命题的其他三个命题的构造有错．了新的默认．那么，是哪一个命题构造错了呢?错误的原因构造一个命题的逆命题时会有两种情况．又是什么呢?情况1“原命题中的默认”与“将原命题中的错因分析：原命题中，若“石>怕”，意味着“再条件和结论互换后得到的命题的默认”相同，这种情况下构造原命题的逆命题时只需要“将原命题中的>幅”为真，条件是“√口>怕”必须有意义，隐含着大条件和结论互换”．前提“口≥0，6≥o”，因此，原命题的完整表述应该是

3、：情况2“原命题中的默认”与“将原命题中的已知n≥o，6≥o，若√口>怕，则口>b．条件和结论互换后得到的命题中的默认”不同，此时在这种情况下其逆否命题应该是：构造原命题的逆命题时必须将“原命题中的默认条已知口≥0，6≥o，若口≤6，则√口≤怕．件”显性化，并将“原命题中的默认条件”作为整个命这显然是真命题，与原命题等价．错解中所构造题的大前提，这样构造出来的逆命题才是正确的．在的逆否命题中缺少了大前提“口≥0，6≥o”，所以是错这种情形下，构造逆命题时往往需要将原命题进行误的．改写．同样，构造逆命题及否命题时，也需要加上大前一个命题的否命题

4、及逆否命题的构造方式与逆提“已知口≥0，6≥0”．命题的构造方式相同．那么，条件“已知口≥0，6≥o”是从哪里来的?所以，命题“若√五>怕，则a>6”的其他三个命中学数学中有一种“默认”，即在一个问题中，给题的构造如下．定的条件总有意义．例如，给出函数3I=lg(z一1)，如果没有特殊说明就意味着“z>1”．一般情况下，逆命题“已知口≥0，6≥o，若口>6，则石>怕”，给出的函数解析式中，如没有特别说明，其定义域真命题．就是解析式有意义的自变量的取值范围，这就是否命题“已知a≥o，6≥o，若石≤万，则n≤6”，默认．真命题．再如，式子lg．r

5、+lgx等于lgx2，其默认条件是逆否命题“已知a≥0，b≥0，若a≤b，则知≤“x>0”，但是式子lgx2却不等于219x，而应该等于怕”，真命题．219Izl．因为lgx2中的默认条件是“z≠0”．练习以下问题，可以加深体会．一般地，命题“若P则q”的默认就是“命题P”练习写出以下命题的逆命题，否命题及逆否。为真的条件．命题，并判断其真假：目前教材及课堂教学中所出现的相关示例，构1．若口>b，则√口>如．造一个命题的逆命题往往就是将条件和结论互换．殊不知，条件和结论互换后“原命题中的默认”就不2．若lgx>lgy，贝Ⅱz>y．上海中学数学

6、·2014年第6期段AB为直径的圆，再利用ICI的几何意义求原点到二、解法轨迹圆上的点的距离最大值．思路1：对条件(n—C)·(b—C)一0进行代数四、变式变形，利用数量积的定义展开得到ICI关于夹角的函数关系式，利用函数知识求得lcI最大值．变式1已知三、若是平面内两个夹角为60。的单解法1：由(a—c)·(b—c)一0得口·b—a·位向量．若向量；满足(：一；)·‘(’b--4c)----0，则I；I的c—c·b+C2=0，即c·(n+6)一C2(*)．记c与口最大值是——．+b的夹角为口，则(*)式可化为ICl—Ia+bcos0解：如图

7、2，设三=蕊，舌=魂，；=√2cos矧2(当口=oo取“=”)．=乙i芒，贝0三--一C一℃者，一b一；=℃蛮．又思路2：条件“a、b是平面内两个互相垂直的单(口一C)·(b—c)=0，．。．CAJ-∞，即位向量”具有明显的坐标背景，可由“坐标法”探求点C的轨迹是以AB为直径的圆M．到C(起点在坐标原点)的终点C的轨迹，再由lcI的由题意，△OAB是边长为1的正三图21上厅几何意义即轨迹上的点与原点距离得最大值．一角形，故IcI。。=oM+，．一—ITiq—O．解法2：建立平面直角坐标系，不妨设a=(1，0)，b一(0，1)，c一(z，y)．

8、由(n—C)·(b—c)=0得评注：①变式1也可以借助坐标法加以转化，1(1--x)(--x)+(一y)(1一y)=0，即(z一÷)2+(y此时可设三一(1，o)，