对一道例题解法的探究及反思.doc

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1、对一道例题解法的探究及反思在进行高三导数单元复习时，我引用了这样一道常规例题，教学目的是通过让学生先练习老师示讲评的方式进行探究，借此题的学习让学生复习并掌握利川导数判断函数单调性的常规方法及函数思想的运用一教学过程［OI4-题目：设TO)=-F-fx+31nx,g(x)=——，且a,b为函数f(x)的极值点(00),令广(x)=0,即x2-rx+3=0,则a,

2、b是XX方程的两个正根，易得/>2弟。(2)(学生解答)学生1(板书如下)因为gx)=2(/+3)—2x(2jc+()(宀3)2(—U+3)—2(x~+Zx—3)(x2+3)2-_-令g(x)=0,即兀2+饥_3=0,又△二芒+12〉0,所以一f-VP+12-r+Vr+12…一/一肯+12,-/+VP+12——心—2—，因为“—2—宀—2—则亠甘土豆2—土逅L旦2二空>0,所以1222-b>X］同理可得一a<兀2，所以召<一b<一。<勺•所以g(x)在［・b,・a］上为增函数。学生1的解法很好，他熟练运用了求导法判断函数的单调性。此时，学生2站了起来

3、，老师：这道题可以不需要求出方稈的根，只需要用二次函数的图象来判定就可以了，解法如下：._“「、丫、x~tx^3.小、—2(兀~+Ax—3)因为fW=(x>0),g(x)=―。—,又a+b=t,ab=3x(JT+3)~令hM=x2+a-3,xe［一人一加，因h(x)的对称轴为%=--=~(d+Z?)e［-b-a］y22所以⑴皿§加一®=加一0)，又因为h(-b)二h(-Q二-b〈0,所以h(x)<0在xe［-by-a］±恒成立，即gCx)〉O恒成立，贝如无)在［~b,-a］±为增函数。许多同学对学生2运用函数思想的解法表示了赞赏，给予了这个同学热烈的掌

4、声,这时学生3迫不及待地起來发表自己的意见。学生3：设x()g[6Z,H则—x()e[-/?,-a],/(x())=fV3<0,即x：-血+3v0,则g(-x0)=-2•：兀2:;尸3=-2(Xq-a0+3)-6〉0(对+3)2则g(x)在［・b,・a］上为增函数。以上三位同学的解答祁非常精彩，联系了函数导数的有关性质，至此，我设计这道题的目的已经实现，我正准备讲下一个问题时，一只手举了起来，我看是一位数学学得一般，但思维比较活跃的学生。学生4：老师，这道题可不可以用函数单调性定义来证明呢？一语惊四座，顿时教室又热闹起来，学生的求知欲，积极性再一次被调

5、动起来。我意识到这是培养学生勇于探索的品质的机会，于是引导学生对此解法进行解答，大约过了几分钟，大部分同学都没有反应，说明问题的解决遇到了困难，于是我对同学们说，大家其实对这种解法做了一定的准备工作了，只是欠一点东风而已！下面我们来共同解决。5兀2贝Ug(兀

6、)—g(>2)=2再+12x2+1彳+3x；+3(2兀]+t){x~+3)—(2x>++3)2X

7、X>(X-)—xj+6(x)—x,)+『(£—x~)(彳+3)(£+3)=(£+3)0；+3)(x2一xJ[2X]兀2一6+心]+x2)](x2+3)(x；4-3)正当我准备继续对2兀“2-6+/(召

8、+无2)的正负进行推导时，学生5已经举手，并未等我问他，就迫不及待地说，老师我己经证出来了！学生5：因为2x{x2一6+/(兀［+%)=2兀］兀？+(a+b)(兀［+x2)-6=(兀

9、兀2+°召+bx?+ab)+(x(x2+ax2+bx}+ah)一12=(兀］+b)(x2+a)+(X］+a)(x2+b)-12又因为一bOn?+d<0,斗+a<0,所以(x,+b)(x2+a)+(%)+a)(x2+/?)-12<0o此时，全班同学都因为学生5的精彩演绎而鼓掌，我也不由自主陷入思考。就在此时，学生6也要发言。学生

10、6：老师，我认为要判断/?=2A-x2-6+r(x,+x2)的正负，也可以不用因式分解法，我用了“选主元”的方法解决这个问题。设力0］)=(2x2+z)Xj+(rx2-6),x,g［-b,—。］,则/?(-/?)=(2x2+Z)(-Z?)+(tx2-6)=(/-2/?)x2一(tb+6)=(d-/?)x2一(d+b)b一6v(a—b)(-b)一(a+b)b-6=-2ab-6=-12<0同理/2(—d)=-12v0,所以)v0在码e[-b-a]丄恒成立。此时学生7站起来说：“我认为象这样的函数可以转化为y=ax+-型函数来研究。X学生7：^2x+t=m,

11、me[a-b,b-a]^m=OU寸，y二0,当刃HO时,4my=-2t(m-r)2+12又(V