“一道例题的变式及解法探究”教学设计（黄业乐）.doc

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1、“一道例题的变式及解法探究”教学设计广东省佛山市顺德区伦教翁祐中学黄业乐3【教学内容】北师大版《数学》九年级（上）第一章证明（二）你能证明它们吗例1的拓广及解法探究．【教学目标】知识与技能：经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，能够用多种方法证明与等腰三角形有关的命题．过程与方法：1．通过对一道题的解法及变式、引申题的探究，培养学生的猜想、证明和合作交流能力．2．通过对本节课的探究，培养学生的观察能力、识图能力、将文字语言转化为几何语言的能力．情感与态度：1．在探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．2．在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探

2、究活动中获得成功的体验．【教学重点】怎样根据文字叙述题正确画出图形并根据图形写出已知、求证和证明．【教学难点】1.怎样将开放题转化为常规题．2.怎样根据证明的需要添加辅助线．【教学过程】图1原题：等腰三角形两腰上的高有什么关系？(学生一阵沉默、思考）学生1：（举起手中所画图形）应该是相等关系吧？教师：为什么？学生1：如图1根据“AAS”可证明BCD≌CBE或≌,故两腰上的高BD=CE．学生2：本题也可以通过等积变形来说明，因为AB·CE=AC·BD，AB=AC，所以BD=CE．教师：很好！今天我们把这一问题进行拓广变式，得到如下命题:变式1：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和

3、与一腰上的高有什么数量关系？教师：仔细读题、分析后画出满足条件的图形，并根据所画图形写出已知，通过量一量，猜一猜它们有什么数量关系？．学生动手画图．教师用投影仪展示学生3的作品：图2图2已知：如图2，ABC中，AB=AC，为BC上一点，且于E，于F，于D．学生3：我通过度量发现“等腰三角形底边BC上任意一点P到两腰的距离PE、PF之和与一腰上的高BD是相等关系”，即．教师：这只是一个猜想，还必须经过推理证明，那位同学能证明此命题？学生4：将PF平移至GD，再证明BG=PE．教师：怎么证明BG=PE呢？学生5：可证明，BGP≌PEB．教师：很好，请同学们按此思路写出推理过程．教师展示

4、学生6的证明过程．证法1：经过点P作垂足为G．（相当于将PF平移至GD）∵，∴四边形DFPG是矩形．∴(1)3∵，∴∠GPB=∠C，∵AB=AC∴，∴∠GPB=∠EBP．BP=PB,∠BGP=∠PEB=90∴BGP≌PEB(AAS)，∴PE=BG(2)(1)+(2)得PE+PF=BG+GD=BD．教师：书写很有条理，还有其他的证明方法吗？(学生独立思考后，小组讨论、交流.)图3学生7：如图3，连结AP，通过等积变形来说明．证法2：连结AP,∵AB·PE,AC·PF，AC·BD．而,∴AB·PE+AC·PF=AC·BD,又AB=AC，上式两边同除以,即得：PE+PF=BD．设计目的：

5、通过学生自主探索（包括观察、度量）猜想和证明，培养学生的自主学习，自主思考及动手、推理能力．教师：现把原题再作如下变形：变式2：当点P在BC边的延长线上时，其他条件不变，原题中的结论成立吗？如果不成立，请写出新的结论．图4教师：在证明之前还必须根据文字叙述，正确画出图形，并根据图形写出已知，求证．学生8：已知：如图4，ABC中，AB=AC，为BC延长线上一点，并且PE⊥AB于E，于D，PF⊥AC交AC延长线为点F．教师：PE、PF和BD有什么关系呢？学生9：我经过度量猜测：PE-PF=BD．教师：这是一个猜想，还必须经过证明．那位同学能证明此命题？学生10：我能．（以下展示学生10

6、的证明过程）证法1：过点C作CG⊥PE于点G，CH⊥AB于点H，∵,BD⊥AC，∴BD∥FP∴,同理，由AB=AC得，，∴BCD≌CBH（AAS）∴∠DBC=∠HCB∴∠FPC=∠GPC，∵CP=CP，∠PFC=∠PGC=90∴PCF≌PCG（AAS）∴90∴四边形CGEH是矩形∴EG=HC，∵PE-PG=EG，∴PE-PF=HC=BD．教师：太棒啦！还有其他方法吗？学生11：同样可通过等积变形来说明.（展示学生11的证明过程）证法2：如图5，连结AP，图5∵AB·PE,AC·PF，AC·BD，而，∴AB·PE-AC·PF=AC·BD，又AB=AC，上式两边同除以,即得：PE-PF

7、=BD．教师：原题与变式1、变式2有什么关系？学生12：如果点P为底边端点，则变式1、变式2就成为原题了．3总结评价：（学生交流，谈体会，教师总结评价）布置作业：A组：将以上三题中的锐角三角形变为直角三角形，其他条件不变．B组：将以上三题中的锐角三角形变为钝角三角形，其他条件不变．C组：等腰梯形两腰上的高有什么关系？请同学们分别求出PE、PF和BD的数量关系？作业设计说明：A组为较容易的问题，由成绩较差或中等的同学完成．B、C组为较难的问题，由成绩较好的同学完成．为方