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1、b—道中考题的解法、变式探究及一般结论宁夏回族自治区中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校(755006)张宁一、试题及解答试题如图1,在x轴上方，直角ZBOA绕原点O按顺时针方向旋转.若ZBOA的两边分别与函数12y=一一、y=—的图像交于B、A两点，则ZOAB大小的变化趋势为()xxA.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变本题是2015年山东省滨州市中考数学选择题第12题，是选择题屮的压轴题.本题以学生熟悉的双曲线及直角三角形为基本图形，借助图形的旋转变换，主要考查反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的边角关系，构思巧
2、妙，立意新颖，内涵丰富，是一道融合代数与几何为一体的综合性较强的试题，对学生而言具有一定的挑战性.解法1：如图1,分别过点A和点3作AE丄兀轴，BF丄y轴,21垂足分别为E，F.设点A的坐标为(a,—),点B的坐标为(/?,——),ab2则OE=a,AE=-,OF=b,RFr)P2由已知易知，'AOEsOBF、由相似三角形的性质可知，——=——,所以crb~=2,即a2=—OEAEb2由勾股定理可得，OA=JaG+oQob=^bf2+of2在RtAAOB中，由直角三角形中的边角关系nJ知,tanZOABT“定值)•所以ZOAB
3、的大小保持不变.故选D.点评：这种解法涉及相似三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形的边角关系等知识点，且计算过程比较繁琐，利用直角三角形的边角关系求tanZO&B时，需要确定OA与OB之间的关系之间的关系.根据条件a2b2=2,得出OA与OB之间的关系具有一定的难度.2由本题的结论可知，当直角ZBOA绕原点O旋转时，点A在曲线y=—(x>0)上运动时，点〃随x之在曲线y=(x<0)上运动，ZOAB大小始终保持不变.从而可知，点A运动过程中形成的一系x列直角三角是相似三角形.笔者通过查阅资料得知，网络及相关数学期刊上流行的参考答案与解
4、法1类似，其基本思路都是“设21点A的坐标为（/―）,点B的坐标为（4-—）”，然后通过利用相似三角形的性质、勾股定理等知识ab求出关系式“a2h2=2不论是哪一种求解方法，求tanAOAB的值时都需要通过繁琐的计算得到.也许命题组正是基于这种考虑，将本题作为选择题屮的压轴题.经研究发现，利用反比例函数的性质、相似三角形的性质等有关知识点，本题有一个非常简洁的解法.解法2：如图1,分别过点A和点3作AE丄兀轴，丄y轴，垂足分别为E,F.由反比例函数的性质知，SMa=*x2=l,Smof=*x1=*.易知△AOEsH0BF,由相似三角形的
5、性质可知,S两FSgOE.在RtAAOB中，由直角三角形中的边角CR关系可知，tanZOAB=—=—（定值），所以ZOAB的大小保持不变.故选D.0A2点评：这种解法屮涉及两个重要的知识点，一是反比例函数表达式屮比例系数R的几何意义；二是相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”.这两个知识点是学生非常熟悉的，如果在解决本题时能够灵活运用，其简洁程度是显而易见的.这种解法不涉及复杂的运算，也突出了本题考查的重点知识，符合《义务教育数学课程标准》（2011年版）倡导的理念.如果命题组基于这种解法的考虑，本题也许不再是选择题中的
6、压轴题.二、变式探究变式1：如图2,在兀轴上方，直角ZBOA绕原点O按顺时针方向旋转.若ZBOA的两边分别与函数2Qy二一一、〉,二一的图像交于3、4两点，交y轴于点C,若点C是线段的中点，求点4、B的坐标.XX解法提示：如图3,分别过点A和点B作AE丄x轴，BF丄y轴,Q2乖足分别为E,F.设点A的坐标为（/一），点B的坐标为（伙-一）,ab82则OE=a,AE=—,OF=—b,BF=—•易知lNOEs*ah由相似三角形的性质可知，—,所以a2b2=6.当点C是OEAE线段AB的中点时，易知点O是线段EF的中点，即OE=OF,所
7、以a=-b.从而可求得a=2,b=-2,所以点A的坐标为（2,4）,点B的坐标为（—2,1）.点评：本题主要考查反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、平面直角处标系内点的坐标的求法等知识点，设出所求点的坐标，然后根据已知条件列方程求未知数的值，这也是求解这类问题的通法.变式2：如图3,在RtZAOB中，ZAOB=90°fOA=^OB,点A在函数y=-（x>0）的图像上,2-x点B在函数y=—（x<0）的图像上，求R的值.x解法提示：如图3,分别过点A和点3作AE丄兀轴，BF丄y轴，垂足分别为E,F.Iorcfcr设点A的坐标为（c
8、-）,易知ZOEs 眄由相似三角形的性质可知，——=—=—=2,aOEAEOAI2因为OE=ci,AE=—,所以OF=—,BF=2a.因为点B在第二象限,aa所以k=2a-^]=-4.a2所以点3的坐标
