纠正一道变式题的错误解法

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1、58数学通讯——2O13年第5、6期(上半月)·辅教导学·纠正一道变式题的错误解法黄承浩吴超(湖北省武汉市第二中学，430010)(湖北省鄂州市吴都中学，436000)文L1j中，潘继军老师巧用均值不等式解答了铡祈上还解答过程中，只考虑f2a+20t,下面这道最大值问题：1+26一一+丽9一￡，没有验证三个不等式题1设z，，z为正数，求≥镣的最①、②、③等号成立的条件，因此导致了结论错误．大值．实际上，当n一-耋-，6一舌时，易知：不等式①文[2]中，作者用参数均值不等式的方法解答了题1及几道变式试题，笔者认真思考后发现，文即2≤z+3，等号成立的条件

2、是一[2]中对变式1的求解是错误的，解答错误的原因4是没有考虑均值不等式取等号的条件．z；不等式②即2≤；。+了4z2，等号成立的为叙述方便，先介绍文[2]中的的变式1及其解答如下．条件是z一7；不等式③即3≤舌z。+臀z2，变式1设z，Y，是正数，求函数叫一2xy-F2yz+3z等号成立的条件是一吾z．———x的最大值．z。十v十z。解根据均值不等式可得：对于任意的正数因为x,y,z是正数，显然一号z，z一丢，n，b，都有一百7z不可能同时成立2xy≤2ax+1①，因此，当n=：=号，6一吾时，不等式④中的等号不可能取得，所以文[2]的2yz≤2by

3、+_1z②解法中得到的“的最大值是_主_’’这一结论是错3zx≤2abz+z③误的．通过探究，笔者得到了变式1的一种解法，介以上三式相加，得绍如下．2xy+2yz+3xz≤(2a+2ab)x+‘+锯设W的最-i：信为k。刚对一切数v，2b)。+(十9)④，都有簪笋≤忌．令2a-I-2ab一1+26一十—，则就当z——时，训一7所以是≥7n0O0．O，．是所求的最大值．对一切正数，，z，消去b，得到方程12a。一5n+lOa一8—0，分≤点解因式得(3a一2)(4a。+n+4)一0，解得a一n，U∞h。一x(2y+3z)十忌(。+。)一2yz≥0则b一专

4、，于是得到￡一号·一因此，函数叫一≥专等的最大值是+尼(。+z。)一2z≥05∞№一)。十[(忌一1一(2+’·辅教导学·数学通讯——2O13年第5、6期(上半月)59为零的实数，也可求得叫一—2xy+2yz-+-3z+(k-]≥o①—了—x的最X十v。十2所以，不等式①对一切正数z，Y，z都成立，且大值为上存在正数X，Y，z使得①中等号成立．．用同样的方法，笔者解决了下面的变式题．注意到①式中左边的表达式(是一÷)一(2总题2设X，Y，z是不全为零的实数，求叫一+百3)+(矗一)与z无关，m(一)擘笋的最／J、值．≥0，而且，对于确定的正数Y，z，存

5、在正数z，使得解设W的最小值为，则对不全为零的实Zy-d-3zz一—一0，从而可知下面的不等式对一切正庀数z，，z，都有≥专≠≥．数Y，z都成立：当一-z,y一0时，训===一3，所以m≤一号(k-i1)3，一(2+i3)+(k-)z≥o．<0．从而不等式(k-÷宠)(Z)z一(2+辜庀)．YZ+(忌对不全为零的实数z，Y，，≥一)≥o对一切正数，都成立，并且等号可以眦。一x(2y+3z)+m(y+z)一2yz≤0成立．∞一)z_+吣4-又k一÷庀>0，因此一定有[一(2+÷总)]。一4(是，4)一2yz≤0一去)(忌一)一0，整理得4忌。一17是一1

6、2=0，分甘m(一)z+[(m一)z一(2+m解因式得(2是4-3)(2忌一3k一4)一0，所以k一3)yz--}-(一)。]≤0①互(其它根为负根m，舍去)．所以，不等式①对一切不全为零的实数z，Y，因此，硼的最大值为生±．z都成立，且存在实数．27，Y，z使得①中等号成立．注意到①式中左边的表达式(m一)z一(2说明实际上，把忌：==±代人①式，+-3-)yz-~-(m一与z无关，一)整理即得m≤0，而且，对于确定的实数Y，z，存在实数X，使得华——[Lz一—c2Y+十。JJz+十+3Z一2Y一0，从而可知下面的不等式对一切实。^m‘(3，一T,A

7、T-3≥。，数Y，都成立：(一)yZ(2-~3)yzJr-(m一)z。≤0．显然成立，因此，≥专兰≤mm4m’T3+~4T从而不等式(一)(-Y-)。一(2+旦)．+，当一且z一(2+优mZ3z)时，等号成立．如：X一4，Y一、／／万一3，z一4就(～)≤0对一切实数Y，z(z≠o)都成立，并4是使得取得最大值的一组变量．且等号可以成立．又一<0，因此一定有[一(2+)]一显然<．星-，这进一步说明了文[2]中m一171—4(m一)(一)：0，整理得4。一17m一12得到的结果是错误的．m4另外，从匕面的解法可知：如果，v，z是不伞一0，分解因式得(2

8、m+3)(2m2—3m一4)：0。所60数学通讯⋯2Ol3年第5、6期(上半月)·辅教导学·l