一道课本证明题的几个变式

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1、一道课本证明题的几个变式　　变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律的一种教学方式.下面举例说明.（注：和差化积、积化和差公式请参阅教材）　　人教A版选修22第96页例1：在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.　　变式1在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证

2、△ABC为等边三角形.　　证明：由A，B，C成等差数列知，B=〖SX（〗π3，由余弦定理知b2=a2+c2-ac，　　又a，b，c也成等差数列，∴b=〖SX（〗a+c2，代入上式得〖SX（〗（a+c）42=a2+c2-ac，　　整理得3（a-c）2=0，∴a=c，从而A=C，而B=〖SX（〗π3，则A=B=C=〖SX（〗π3，　　从而△ABC为等边三角形.　　变式2在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且cosA，cosB，cosC成等比数列，a，b，c成等差数列，求证△4ABC为等边三角形.　　证明：由于cosA，cosB，cosC成等比数列

3、，则cos2B=cosAcosC，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），∴2cos2B=-cosB+cos（A-C）（1）　　又a，b，c成等差数列，则2sinB=sinA+sinC，　　则4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，　　由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，　　∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2，　　即cos（A-C）=2cos2〖SX（〗A-C2-1=8sin2〖SX（〗B2-1=3-4cosB（2）　　将（2）式代入（1）式得：2cos2B+5

4、cosB-3=0，　　∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-3（舍去），而0

5、-C）（1）　　又a，b，c成等比数列，则sin2B=sinAsinC，　　∴2sin2B=cos（A-C）+cosB，　　即cos（A-C）=2sin2B-cosB（2）4　　将（2）代入（1）得：2cos2B+cosB-1=0，　　∴cosB=〖SX（〗12或cosB=-1（舍去）　　而0

6、，cosB，cosC成等差数列，则2cosB=cosA+cosC=2cos〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2　　∴cos〖SX（〗A-C2=〖SX（〗cosBsin〖SX（〗B2（1）　　又a，b，c成等差数列，则2sinB=sinA+sinC，　　〖HJ4.3p〗∴4sin〖SX（〗B2cos〖SX（〗B2=2sin〖SX（〗A+C2cos〖SX（〗A-C2，　　由于cos〖SX（〗B2=sin〖SX（〗A+C2≠0，　　∴2sin〖SX（〗B2=cos〖SX（〗A-C2（2）　　将（1）代入（2）得cosB=2sin2〖SX（〗B2=1-cosB，　　

7、∴cosB=〖SX（〗12，而0

8、　∴cos