一道课本习题的拓展、推广及变式

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1、2012年第3期中学数学研究31一道课本习题的拓展、推广及变式浙江省绍兴市高级中学(312000)阮伟强一、问题的提出方程为X0+。。(为参数)，代入椭圆方程并浙江省自2009年起实施新课程高考，其中的一ty=Y0+tsin0个改革举措是：凡报考重点大学的学生需外加一门整理，得总分为60分的自选科目(不分文理科)，考生需在全(b2COS。0+0sin0)t+2(b2xocosO+a2yosin0)t卷设置的18个试题(每个自选模块配一个，分值均+(b2x0+0,2Yo一a2b)=0．为10分)中任选6个作答．为减轻学习压力，大多数设此方程的

2、两根为￡，￡2，则lPAI·IPl=考生均选择其中的7至8个模块进行重点学习，而数-．--=-理，学的两个模块“不等式选讲”与“坐标系与参数方程”，尤其是后者，成了所有文理科考生的必选模对于直线CD，将0换为万一0，可得块，这无疑加大了该内容的教与学的要求．因此，当IPCl·IPDl：笔者在进行课本中如下例4的教学时，面对学生不60+a2Yo一2ll经意的发问，顺势开始了一次探索之旅．。b2COS(7r一0)+0sin(t7r一0)。60。+a2y2b(人教A版选修4—4《坐标系与参数方程》第o一IJ一。b2cos20+口sin20。’38

3、页)所以IPA1．IPBI={PC『．fPDI．面对上述优美结果，学生都显得有些兴奋，感觉P很像圆中的“相交弦定理”，而圆中有“割线定理”，A条B相，C交D弦与椭，交圆点长轴为的．夹两角曩弦分乏上那么椭圆中有“割线定理”吗?而从例题的证明过程容易看出，若点P在椭圆外部，也必有f『．f胎f=lPCl·IPDl成立．这样，问题可拓展为下例结论．结论：已知椭圆+告=1(0>b>0)的两条弦AB、CD所在直线的交点为P，且它们的倾斜角互补，则lPAl·IP日l=IPCl·lPDl(即A、B、C、D四点共圆)．二、问题的推广同时为零)，则。与f重合B

4、：一AB=0且0(其中A1，B1不同时为零)，f2：2+B2Y-4-C2：0，B1C2一B2Cl=0．’’(其中A，日：不同时为零)，则z。与f重合这个命题也是错误的．在例1中，当=0时，rAlB2—2B1=0』’(一。)～(3。一)‘2。=0§{BlC2一2C】=0·[．即2a·(一1)一(一0)·(一1)≠0。LA1C2一A2C1=0fABz—Az=0，但此时f：一1：0，2：：+1：证明：(限于篇幅，证明略)．L1C2一B2C1≠0参考文献0两条直线平行．[1]中学数学课程教材研究开发中心编著．普通高中数学课程标准(实验)人教A必修2

5、『M]．北京：人民教育出版社，2010年．结论2：设两条直线分别为f：A+BY+C1=32中学数学研究2012年第3期那么，将椭圆换成抛物线或双曲线，是否还有类整理得(0一b。)(sin—sin)=0，考虑到a似的结论?≠b，则sin—sin=0，即sina=si，因为Ol≠探究：已知抛物线Y=2px(p>0)的两条弦，故Ol+=丌，即两弦所在直线的倾斜角互补．AB、CD所在直线的交点为P，且它们的倾斜角互补，同理可证对抛物线和双曲线也成立，这样，便得试问lPAl·lPI=}PC1．IPDI成立吗?下列定理．分析：将直线AB的参数方程X0+

6、把。(定理：如果圆锥曲线(标准方程下)的两条弦Ly=Yo+tsinOAB、CD所在直线的交点为P，且Il·IPBI：为参数)代入抛物线物方程，整理得(sin0)t+IPCI·IPDl，那么这两条直线的倾斜角互补．2(YosinO—pcosO)t+(Y0一2pxo)=0，所以四、问题的变式完成上述探究后，有学生意外提出：若两条弦IPAI．IPBI=I2I=lI．再用7r一替AB、CD所在的直线互相垂直(想到又一种特殊位置)时，是否也有优美的结论?现以椭圆为例进行研换上述结果中的，便得IPCI．1PDl：I究．l，故lPA1．I船l=IPCl·

7、lPDI．分析：若设直线AB的倾斜角为Ol，则可得对双曲线x一=1(。>0，b>0)，我们只需ll11．．11PBll：=II—_—-二下II，考虑到直线DcoS0c+aSin将椭圆证明过程中的b。用一b替换，就可得到CD与AB垂直，则其倾斜角为(7r／2)+Ol(或Ol一fPAf·lPl=lPCI·IPDl=(~r／2))，代入上式可得lPC1．IPDl=llb21．于是，推广后可得到下面的I，经观察发现20—0sin20。。’LJ。qcos儿l1-【上U“定理．11_丁两+丁=定理：如果圆锥曲线(标准方程下)的两条弦b2c0s+Ⅱsin

8、0[+b2sin20c+ocosAB、CD所在直线的交点为P，且它们的倾斜角互补，60+。一a2b则lPAl·IPl：lPCI·IPDl(即A、B、C、D四点+6。共圆)．三、逆