对一道选择题解法的探究

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1、对一道选择题解法的探究一、问题提出上网浏览一些数学网站上的论坛、数学教师QQ群时，经常见到询问浙江省湖州市2009年中考数学试卷中第12题解法的帖子．考题再现：已知图1中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（　　）A．6B．7C．8D．9这是一道选择题，解题思路应该容易寻找．根据题意，采用画图的方法求解，动手操作后发现：抛物线的位置有多种情形，而且画得也不精确，因而难以确定最多能经过的格点数．此题看似简单，

2、甚至让人不屑一顾，但解答时却感到茫然，无所适从．该如何求解呢？图1二、解法探究2.1思路探寻网格中每个小方格都是边长为1的小正方形，如果在网格中建立如图2所示的平面直角坐标系，那么格点的横坐标、纵坐标都是整数．根据这一特征，引入概念——整点抛物线．定义：对于二次函数＝，如果当取任意整数时，函数值都是整数，那么称该函数的图象为整点抛物线．例如：二次函数＝，＝的图象都是整点抛物线．图2容易知道，上述选择题要画的抛物线是整点抛物线的一部分，于是问题转化为求整点抛物线上的整点在网格中的最多个数．由于画图不能准确求解

3、，因此考虑求出整点抛物线的函数关系式来求解．2.2探究整点抛物线的性质设所画的整点抛物线的函数关系式为＝，则﹣4≤≤4且0≤≤8，但根据题中的条件显然不能求出整点抛物线的函数关系式．整点抛物线＝有什么性质呢？在＝中，当＝0时，＝；当＝1时，＝．由整点抛物线的定义知：为整数，为整数．∴为整数．在＝中，当＝2时，＝＝是整数，∴为整数．∴为的整数倍，即＝0，±，±1，±，±2，……∵二次项系数≠0，∴≥．4综合可知，整点抛物线＝具有下面的性质：①二次项系数是的非0整数倍，且≥；②二次项系数与一次项系数的和是整数；

4、③常数项是整数．2.3探究整点抛物线的函数关系式利用整点抛物线的性质能否求出整点抛物线的函数关系式呢？2.3.1探究二次项系数的取值在＝中，当＝–4时，＝；当＝0时，＝；当＝4时，＝．.∴①＋③，得0≤≤8．④由②，得–8≤≤0．⑤④＋⑤，得≤≤．∵在整点抛物线中，二次项系数为的非0整数倍，∴＝±．2.3.2探究一次项系数的取值在＝中，当＝–4时，＝；当＝4时，＝．∴由②，得–8≤≤0．③①＋③，得–1≤≤1．④∵在整点抛物线中，是整数，∴＝（为整数）．∵在整点抛物线中，为的非0整数倍，∴＝＝（、均为整数，

5、且≠0）．∵是整数，∴为的整数倍．⑤由④、⑤知＝–1、、0、、1．2.3.3探究常数项的取值∵＝±，＝–1、、0、、1，而在整点抛物线中，是整数，∴整点抛物线的函数关系式共有下面4种情形：4①＝；②＝；③＝；④＝．情形①　如果整点抛物线是＝．当＝–4时，＝，则0≤≤8，即6≤≤14．又0≤≤8，所以6≤≤8．而在整点抛物线中，是整数，所以＝6、7、8．当＝4时，＝，则0≤≤8，即10≤≤18．而0≤≤8，所以整点（4，）不在图2所示的网格中．当＝3时，＝，同理＝6、7、8．∴这种情形下整点抛物线为：＝或＝或

6、＝8，当＝0、±1、±2、±3、–4时的整点就是格点，所以它们都经过8个格点．情形②　如果整点抛物线是＝．当＝–4时，＝，则0≤≤8，即–10≤≤–2．又0≤≤8，所以整点（–4，）不在图2所示的网格中．当＝–3时，＝，则0≤≤8，即–6≤≤2．又0≤≤8，所以0≤≤2．而在整点抛物线中，是整数，所以＝0、1、2．当＝4时，＝，同理＝0、1、2．∴这种情形下整点抛物线为：＝或＝或＝，当＝0、±1、±2、±3、4时的整点就是格点，所以它们都经过8个格点．情形③　如果整点抛物线是＝．同情形①可求得整点抛物线为：

7、＝或＝或＝，它们都经过8个格点．情形④　如果整点抛物线是＝．同情形②可求得整点抛物线为：＝或＝或＝，它们都经过8个格点．至此，我们求出了图2中经过格点最多的整点抛物线的所有函数关系式，因此在图1中任意画一条抛物线，最多能经过8个格点，选C．三、几点思考3.1　解题思路是如何想到的？这道选择题中提及抛物线，因此很容易将格点看成是平面直角坐标系中的点，于是利用网格的直观性建立适当的平面直角坐标系，根据格点的横、纵坐标都是整数的特殊性，引入概念“整点抛物线”，进而想到探究整点抛物线的性质，这些性质为整点抛物线函数

8、关系式的求出提供了依据．图2中的网格是“有限”的，而整点抛物线却是无限延伸的，为使整点抛物线在“有限”网格中的整点个数最多，因此考虑“边界整点”是否在网格中．确定二次项系数4、一次项系数的值就是利用“边界整点”列不等式组分别求出、的取值范围，进而利用整点抛物线的性质求出、的值．而确定常数项的值则是先考虑＝–4或4时的整点是否在网格中．若其中有一个整点不在，则考虑与它相邻的下一个“边界整点”是否在网格中．逐点考虑，