对一道中考试题解法的探究

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1、对一道中考试题解法的探究　　试题：（2011年武汉市初中毕业升学考试第22题）　　如图1，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.　　（1）求证：PB为⊙O的切线；　　（2）若tan∠ABE=，求sin∠E的值.　　第（1）问是圆中的常见问题，因为点B在圆上，连半径OB，证明∠OBP=90°即可.这里的关键是发现OP是弦AB的中垂线，通过三角形全等或等腰三角形的性质可证∠OBP=90°.证明过程不再赘述.　　第（2）问综合性强，对同学们的能力要求较高，解答方法多样，本文主要探讨第（2）问的证明方法

2、.　　图1　　一、构造相似三角形　　解法1：“A”型与勾股定理　　如图1，由tan∠ABE=，设OC=k，则BC=2k，BO=k，OP=5k.　　由∠ABE=∠BPO，得PC=2BC=4k，BP=2k.　　由（1）得∠OAE=∠PBE=90°.　　又∵∠OEA=∠PEB，　　∴△OAE∽△PBE，　　===，　　即=.　　整理，得AE=2DE.　　设DE=t，则AE=2t.　　在Rt△OAE中，（2t）2+（k）2=（k+t）2，　　解得t=，　　∴OE=，　　sin∠E==.　　解法2：“A”型与切线长定理　　如图2，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，　　∴AD∥OP，　　∴A

3、D=2OC=2k，△ADE∽△POE，　　∴==.　　图2　　设AE=2t，PE=5t，则PA=3t.　　∵PA=PB∴PB=3t.　　∴sin∠E==.　　解法3：“A”型与合比性质　　由解法2知，==，　　由比例的合比性质，得==，即=，　　∴DE=，　　∴OE=DE+OE=，　　∴sin∠E==.　　解法4：“A”型与“射影定理图”　　如图3，过O点作OF⊥OA交AB于F.　　∵AE⊥OA，∴OF∥AE，　　∴=.　　图3　　由解法1可知OC=k，AC=BC=2k，OA=OB=k.　　∵OF⊥OA，OC⊥AF，∴△AOC∽△OFC.　　∴OC2=AC?CF，∴CF=k.　　

4、∴BF=BC-CF=k，AF=AC+CF=k.　　sin∠E====.　　二、面积法　　解法5：转换目标角　　如图4，由解法1知PA=PB=2k，PC=4k，AB=4k.　　过A点作AF⊥PB于F，由三角形面积公式得AF?PB=AB?PC，　　∴AF=.　　在Rt△APF中，PF==.　　∵EB⊥PB，AF⊥PB，∴EB∥AF，　　∴∠E=∠PAF，　　∴sin∠E=sin∠PAF==.　　图4　　三、构造辅助圆　　解法6：圆的性质与勾股定理　　如图5，由第1问可知，∠PBO=∠PAO=90°，　　图5　　∴A、P、B、O四点共圆.　　设圆心为N，连接BN.　　∴∠AOE=∠AP

5、B.　　∵OP⊥AB，∴∠BNC=∠APB，　　∴∠AOE=∠BNC.　　又∵∠OAE=∠BCN，　　∴∠E=∠CBN.　　由解法1得，OC=k，BC=2k.　　设⊙N的半径为r，则CN=r-k，BN=r，　　在Rt△BCN中，（2k）2+（r-k）2=r2，　　解得r=k，　　∴CN=k-k=k，　　∴sin∠E=sin∠CBN==.