对一道中考试题多种解法的探究

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1、对一道中考试题多种解法的探究题目：（2013年江苏扬州第27题）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．�（1）求y与x的函数关系式；�（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；�（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．�解析：由相似基本图形，易证得：△ABP∽△PCE，从而得到y与x之间的函数

2、关系式.�（1)y=-12x�2+m2x.�（2）根据（1）中求出的y与x的函数关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式（或运用数形结合的方法）确定m的取值范围.7�方法1：因为y=-12x�2+m2x=-12(x-m2)�2+m�28.�所以当x=m2时，y取得最大值，最大值为m�28．�因为点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，�所以m�28≤1，解得-22≤m≤22.�因为m为正数.�所以m的取值范围为：0

3、简得：x�2-mx+2≥0.�因为x�2-mx+m�24≥m�24-2,所以m�24-2≤0.�解得-22≤m≤22.�所以0

4、m≤22.�方法4：如图3,因为y=-12x�2+m2x=-12(x-m2)�2+m�28.�所以当x=m2时，y的最大值为1.�即当点P运动到BC的中点时，y有最大值，此时m亦为最大值.取AE的中点O，连OP，作EF⊥AB，易知：四边形BCEF为矩形，OP为梯形ABCD中位线，则EF=BC=m，AF=1，OP=32,所以AE=2OP=3.�所以在�Rt�△AEF中，AE�2+EF�2=AE�2,m�2=8,m=±22�因为m为最大值,所以0

5、形利用勾股定理或相似三角形，得到一元二次方程并求解.�由折叠可知：PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE.�又因为∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°.�所以∠APG=∠APB.�因为∠BAG=90°,所以AG∥BC.�所以∠GAP=∠APB,所以∠GAP=∠APG,所以AG=PG=PC.�方法1：如图4所示，分别延长CE、AG，交于点H,�易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x�在�Rt�△GHE中，由勾股定理得：GH�2+HE�2=GE�2即x�2

6、+(2-y)�2=y�2.�化简得：x�2-4y+4=0①，由（1）可知：y=-12x�2+m2x，这时m=4，所以y=-12x�2+2x.�代入①式，得：x�2-8x+4=0，解得x=23或x=2.�所以BP的长为23或2.�方法2：如图5所示,7过点P作PH⊥AG于点H.易知四边形ABPH为矩形，所以AH=PB=x，PH=AB=2.�因为AG=PG=PC=4-x,所以HG=AG-AH=4-x-x=4-2x.�在�Rt�△PGH中，由勾股定理得：GH�2+PH�2=PG�2即(4-2x)�2+2�2=(4-x)�2

7、.�化简得：3x�2-8x+4=0，解得：x=23或x=2.�所以BP的长为23或2.�方法3：如图6所示,分别延长CE、AG，交于点H，作PF⊥AG于点F,易知四边形ABCH为矩形.GH=4-(4-x)=x，HE=2-y，�由（1）可知：y=-12x�2+m2x，此时m=4，所以y=-12x�2+2x.�所以HE=2-（-12x�2+2x）=12x�2-2x+2.�易知四边形ABPF为矩形,所以AF=x,所以GF=4-x-x=4-2x，PF=AB=2.�由折叠可知：∠PGE=∠C=90°,�所以易知△PGF∽△GE

8、H.�所以PFGH=FGHE,即72x=4-2x12x�2-2x+2得3x�2-8x+4=0.�解得：x=23或x=2.�所以BP的长为23或2.�方法4：如图7所示，过点G作GH⊥AP于点H，前面已证：AG=PG=4-x.�所以△APG为等腰三角形,�因为GH⊥AP,所以AH=12AP.�易证得�Rt�△ABP∽�Rt�△GHA.�所以APA