一道试题解法的全方位探究

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1、一道试题解法的全方位探究一道试题解法的全方位探究题目已知二次函数y=f(x)的图象过原点，且1Wf(—1)W2,3Wf(l)W4,求f(-2)的取值范围。分析：由于二次函数y=f(x)的图象过原点，可设f(x)=ax2+bxaHO,由f(―l)=a—b,f(l)=a+b,得IWa—bW2,3Wa+bW4。探究一、整体代换解法1：设f(―2)=mf(l)+nf(―l)=m(a+b)+n(a—b),又f(―2)=4a-2b,得方程组m+n=4m—n=—2,解之，得则f(—2)二f(l)+3f(—1)。由不等

2、式组3Wf(l)W4,3W3f(—1)W6,两式相加得到6Wf(—2)W10。解法2：由方程组f(―l)=a—b,f⑴二a+b,解之，得a=12[f(l)+f(—1)],b=12Lf(l)-f(-l)],由于f(-2)=4a-2b=f(l)+3f(—1),由不等式组3Wf⑴W4,3W3f(—1)W6,两式相加得到6Wf(—2)W10。评注：上述解法都从整体代换入手，解法1将f(-2)直接用已知f(l)与f(一1)这两个整体代换；解法2将a,b先用f(l)与f(-l)这两个整体表示,从而间接达到f(-2)

3、用f(1)与f(―1)这两个整体代换的目的，尽管思维顺序不同，异途同归,数学实质是相同的。探究二、线性规划解：视线性约束条件为1Wa—bW2,3Wa+bW4,线性目标函数f(-2)=4a-2b,它表示斜率为2在b轴上截距是一f(-2)2的直线，作出可行域(如下图)。由方程组a+b二3,a—b=l,得A(2,1),由方程组a+b=4,a—b=2,得B(3,l)o由上图可知:直线f(-2)二4a—2b过A点时f(—2)最小值为6,过B时f(-2)最大值为10。因此6Wf(-2)010。评注:在解决二元不等式

4、组条件下,函数最值的相关问题吋，从线性规划角度切入，抓住数与图形间的必然联系,这样就切中了要害，抓住了本质，单刀直入，可使问题求解过程轻松快捷。探究三、化归线性解：由于所讨论问题不在x二0处，因此在xHO吋，函数f(x)=ax2+bx可化为f(x)x二ax+b,所得新函数表示一条直线，该直线上的三个特征点依次记为A(—2,f(―2)—2),B(—1,f(―1)—1),C(l,f(l)l)o构造向量BA=(-1,-f(-2)2+f(-l)),BC=(2,f(l)+f(-l)),由向量BA,BC共线，得2［

5、f(—2)—2+f(—1)］二一［f⑴+f(—l)］，化简得f(-2)=f(l)+3f(-l),由3Wf(l)W4,3W3f(—l)W6,得6Wf(—2)W10。评注：同一问题从不同的角度切入，应用的知识不同，思想方法也就不同，得到的数学结论是完全相同的，揭示的数学本质也是一样。对同一问题的解决,既然有多法，就要从中选优，因此，要根据实际问题背景，合理选择切入点，用最快捷的途径求解。探究四、数形结合解：如右图，f(—l)与f(l)依次对应线段AB与CD,f(-2)对应直线x二-2上的部分线段。由于f(-

6、l)>f(O)=O,f(l)>f(O)=O,抛物线同时要经过这两动点(-1,f(-D),(1,f(D)和定点(0,0),其抛物线开口只有向上，对称轴在-1到1之间。由函数图象知，抛物线开口最小，f(—2)值最大，开口最大，f(—2)值最小，即抛物线同吋过线段AB与CD的最高点B(-1,2),D(1,4)两点吋,f(—2)最大，即a—b二2,a+b二4,得a=3,b=l时，函数式为f(x)=3x2+x,f(—2)=10o抛物线同时过线段AB与CD最低点A(-1,1),D(1,3)两点时,f(—2)最小，即

7、a—b=l,a.+b二3,即a=2,b=1时,函数式为f(x)=2x2+x,f(-2)=6o因此6Wf(―2)W10。评注：代数问题的儿何化表示，就是抽象问题形象化、具体化、简单化。因此合理构建代数问题的儿何模型是解题思维的首选途径。探究五、等量代换解：由于lWf(—l)W2,3Wf(l)W4,设f(—l)二1+CL(OWaWl),f(1)=3+3(OWBWl),有a—b=l+a,a+b二3+B,得a二2+a+B2,b二1+B—。2。f(—2)=4a—2b=4(2+a+B2)—2(l+B—c(2)=6+

8、3a+B,由0^3aW3,OWBWl,得0W3a+BW4,从而得到6Wf(—2)W10。评注：利用等量与不等量的辩证关系，不等量关系借用参数，转化为等量关系，用等式解决不等式，思路简捷，算理简单，表述明快。(作者单位：湖北省阳新县阳新一中)