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1、对一道初中数学竞赛试题的变式探究755006宁夏回族自治区屮卫市沙坡头区宣和镇张洪学校教研室张宁1试题回放题1如图1,点A,C都在函数y=^(x>0)的图象上，点B,D都在x轴上，且使得△OAB,厶〃。。都是等边三角形，则点D的坐标为这是“《数学周报》杯”2007年全国初屮数学竞赛试题屮的一道填空题，题H构思巧妙，图形简洁明了，它以学生熟悉的反比例函数图象和正三角形为背景，主要考查综合运用反比例函数和正三角形的性质解决问题的能力，是一道优秀的竞赛试题.解如图1，分别过点4,C作x轴的垂线，垂足分别为E,F.设OE=a,BF=b,则AE=V3a,CF=V3b,所以点A,C的坐标分别为(d,V3
2、a),(2d+4),所以解得=£厂因此，点D的坐标为(2^6,0).V3b(2a+b)=373,b=76-V3,图22试题的拓展题2如图2所示，Pj(xpyi)、P2(X2,y2)，,P„(xn,yn)在函数y二壬3(x>0)的图象上，△OP/A/,△P2A/A2,△P5A2A3,……,APtlAn-iAn都是等边三角形，且边OA,,A/A2……An./An,都在x轴上，贝I」血的坐标解：分别过片，P?,……，化作x轴的垂线，垂足分别为B“由已知,Pi(xi，yi)>P2(X2,y2)，，Pn(x”yn)在函数(x>0)的图象上,且今0目=ZP2A}B2=•••=分AtB”=60°.由)'i
3、=■及tanZP、0B==—=V3知，X]=a/3.故A}(2a/3~,0).%!OB}x}由)'1=—及tanZ.P2A}B2=——-=尸=巧知，x2=V3+V6•故A2(2^6,0).兀24&2一2Q3OPR、，由y3=及tan=——=亍=V3知，x3=V6+3•故A3(60)•由儿¥及心"兀3人2“3X、—2]6•「：•=V3矢口,x=a/3(/2—1)+a/3/7.兀-2如-1)故A”(2药,0)・3试题的变式探究O如果将题2中的反比例函数y=»(x>0)变为y二-(x>0),将等边△OPiAi，AP2A/A2,XX题3(2009年湖北省黄石市)如图3所示,P,(X],y】)、P
4、2(x2,y2),Pn(Xn‘y(i)△P3A2A3,……，变为等腰直角三角形，我们就得到如下题3.9在函数y二—(X>0)的图象上，△OPA,△P2A]A2,XAP3A2A3,……,APnAn-iAn都是等腰直角三角形,斜边OAi，A,A2,……,An.IAn，都在x轴上,则)'l+『2+・••+)'”=.解：分别过片，P"……,代作X轴的垂线，垂足分别为B2,……,B”.贝IJP2B2P"Bn=~An-An-于是，儿+儿+・・・+儿=£(°州+a1a2+-+a,j_1aj=oa/j.9由已知,Pi(xi，yi)、P2(X2,y2)，，Pn(xn，yn)在函数y=-(x>0)的图象上,X
5、且ZP}OBx=ZP2AxB2=-=APHAn_}Bn=45°.9由V]=—及tanZPQB、PBOB、=—=1^0»由Vo=一及tanZP^A}B0=PbAmA/2=—^=1矢口,x2-6x2=3+3V2.故OA2=6V2".故=6>/3・由『3=2及tanZP3A2B,—f=''-=1矢口，x3=3^2+3^/3兀3人2“3X3-6。2由);=—及tanZ代“=-^—'-==1知，£=3yln-+37h.故0人=曲・兀4-ix“-6M-1故儿+>2十…+儿=OAn—x6a/h=3眉.2如果将题1屮的函数y=^（X>0）变为y=L（x>0）,将等边三角形变成正方形，我xx们就得到如
6、下题4.题4（2009年兰州市）如图4,若正方形04比的顶点〃和正方形血肪的顶点F都在函数y=-（X>0）的图象上，则点F的坐标是（,）.解：设OA=a,AD=b,则=D£=b,所以点B,E的坐标分别为（a,a）,（a+b,图4b）・由于点B、E在反比例函数y=-（x>0）的图象上，所以Xa=I,b(a+b)=1,解得LV5-1b=因此，点E的坐标为（即,即）.2如果将题2中的反比例函数尸呼（x>0）变为-次函数—丰十（x>0）,并且已知△"⑷的边长为2,我们就得到如下题5.a)’图5题5（2009年泰安市屮考题改编）如图5,Pi（xi，yi）、B（X2,y2），，Pn（xn,yQ在函数y=
7、——x+m（x>0）的图象上，AOP/A/,AP2A7A2,△/Wh，……，AP^-jAn都是等边三角形，且边OA/,A/A2,……A皿,都在X轴上，AOP/A/的边长为2,求△P/”-几的边长.PR=OP,sin60°=羽,OB、=op'cos60°=2xr故点片(1,V3).将人（1,希）代入直线）一丰十，得一伞1+心巧，解得,w半.于是直线的表达式为y=-—a-4-^.33设直线y=-—x+^-与坐标轴
