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《高考数学 对一道轨迹题的探究与推广素材(精).doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、⑷若加=2巧时,则①表示两条线段,y=±€(如图3).(5)若2巧<血<4时,则①表示焦点在y轴的双曲线②的一段(如图4).⑹若加=4时,则①表示两条线段,y=±l(-22^6时,则①表示椭圆②(如图8).对一道高考轨迹题的探究与推广普通高中《数学课程标准》指出:“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课程还应侣导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方
2、式”,“高中数学课程应力求通过备种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识”.下血通过对一道高考题(江苏卷)的反思、探究、推广,介绍白己在这方面所做的一次尝试。考题:如图1,圆0与圆0?的半径都是1,0心二4,过动点P分别作圆0、圆02的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=y[2PN.试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.本题是由一动点出发的两条线段Z比为定值的点的轨迹•一个很自然的想法是将题屮的比改为和,点P的轨迹还是闘吗?探究一若将题屮的条件PM=41PN改为PM+PN=m
3、,其他条件不变,则P点的轨迹将是什么呢?解:以0。所在直线为x轴,00的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(下同),设P(x,y),则PM+PN=m即x+2)2+y2-1+J(x-2)24-y2-1=m①化简并幣理得(4m2-64)x2+4m2y2=加'(亦-12)②(1)若m<2V2HJ-,则①不表示任何图形(也即P的轨迹不存在).⑵若m=2V2Hl,则①表示两个点(-1,0)、(1,0).⑶若2血<加<2巧时,则①表示焦点在x轴的双Illi线②的一段(如图2).探究二若将题屮的一个圆改为一定直线,即把圆02改为直线x二2,其他条
4、件不变,贝IJP点的轨迹又将是什么呢?解:设P(x,y),则PM+PN=m(如图9)即7(x+2)2+y2-l+x-2
5、=m③<=>J(x+2)2+y2—1二x-2+m(x<2)④-x+2+m(x>2)⑤④化简并整理得y2=2(m-4)x+zn?-4/n+1⑥⑤化简并整理得y~=-2(/n+4)x+m2+4m+1⑦⑴若加<3时,则③不表示任何图形(也即P的轨迹不存在).⑵若/n=3时,则③表示一个点(-1,0)•⑶若3
6、的右边—段(如图10).⑷若m=V15时,,④表示抛物线⑥在直线x=2-V15的右边一段,⑤表示一个点(2,0),此点在抛物线上,则③表示抛物线⑥在真线天=2-届的右边一段(如图11).⑸若V157、)和抛物线)<=-16x+33在直线x=2的右边一段闌成的半封闭图形(如图13).(7)若4<加<5时,④表示抛物线⑥在其屮一段(2-/n5时,④表示抛物线⑥在直线x=2的左边一段,右边一段,则③表示④、⑤用成的封闭图形(如图16).图16(5)若4
8、<加<5时;则⑧表示椭圆⑨的一段(如图20).探究三若将题屮的一个圆改为一定点,即把圆02改为定点(2,0),其他条件不变,则P点的轨迹又将是什么呢?解:设P(x,y),则PM+PO2=m(如图17)即J(兀+2尸+y?—1+J(_r—2尸+歹=加⑧化简并整理得(4m2-64)x2+I6a+4m2/=赤-14m2+1⑴若m<3则⑧不表示任何图形(也即P的轨迹不存在).⑵若加=3时,则⑧表示一个点(-1,0).⑶若3v加v4时,则⑧表示双1111线⑨左支的一段(如图⑻.⑷若m=4时,则⑧表示抛物线64于=一16兀+33的一段(如图1
9、9).探究四若将题屮的一个圆改为一定点,即把圆0】改为定点(-2,0),再将题中的一个圆改为一定胃线,即把圆@改为胃线x=2,其他条件不变,贝UP点的轨迹又将是什么呢?解:设P(x,y),贝ijPO,+PN=m($n图23)即Jd+2)2+),+o