对一道2013年湖南数学高考客观题的探究

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1、万方数据·12·中学数学研究2014年第1期=÷，即髫=詈时，‰。=√3．厶U5．提炼模型。豁然开朗在解决数学问题时，通过对问题结构特征的观察、联想，并与已有认知结构中的模式相类比，往往能发现其特殊的背景和隐藏的模型，把这些背景和模型提炼出来，赋予问题新的意义，有利于透过现象看到本质，抓住问题的实质，突破思维定势，从而诱发解题的直觉．本题中，前面几种解法已经提炼出向量、不等式、斜率等数学模型，其实本题还可以构造三角模型，利用三角函数的特殊性解决问题．解析11：由ycosx+sinx=2，添置辅助角得√广+lsin(x+妒)=2，其中tan

2、妒=Y，根据三角函，’数有界性得Isin(x+妒)I≤l，所以—鲁≤l，解、l，’1得，，≥万，当y=万时，妒=T仃，石=詈适合题意．因此，当菇=詈时，Y疵=幅．数学直觉是预见解题思路，明晰解题方向的有效途径，细致深入地观察与分析是产生直觉的基础，良好的知识组块和形象直感是产生直觉的前提．因此在平时的教学中，我们要引导学生对问题进行多维度分析，多角度感知，形成直觉探索的能力，提升直觉思维的水平，让直觉思维在数学解题活动中展现独特的魅力和迷人的风彩．参考文献[1]任樟辉．数学思维理论．广西教育出版社，2003．1．对一道2013年湖南数学高

3、考客观题的探究湖南师范大学数学与计算机科学学院(410081)杨伟昌国良2013年全国高考湖南卷理科数学第8题为最后一道选择题，此题立意新颖，解题方法富有灵活性，蕴含了较高的思维价值，对日常教学有很好的启示作用．本文将从解法探究、结论推广与教学启示三方面展开论述．C题目·在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图1)．若光线QR经过AABC的重心，则AP等于()．A．2B．1c音1解法探究解法1(点对称法)：如图2所示，以A点为坐标原点，AB边为石轴，AC边为

4、Y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(0，0)，点8B的坐标为(4，O)，点C的坐标为(O，4)．G为重心且D．÷图1坐标为(÷，÷)，设P点坐标为(m，o)(m>o)，NP点关于BC边与AC边的对称点D和E都在RQ直线上，所以E点坐标为(一m，0)，而直线曰C的方程为Y=一茁+4，根据对称易求得D点坐标为(4，4一m)，所以直线尺Q的方程为y=}芒(茗+m)，把c点代斗+m入此方程，得÷=}焉(÷+m)，解出m=o(舍B4e)或m=了4，AP=丁4．图2解法2(平面几何法)：如图3所示，G为等腰RtAABC的重心，延长CG交A曰边于

5、点D，过点A，B作cD边的平行线分别与边RQ相交于点E，EF设AP=m(m>0)，￡PRQ=Or．’．。Pq，QR分别为入射与反射光线，由反射原理图3可知zPQB=二RQC，同理￡cRQ=LARP．由AABC为等腰直角三角形，得￡B=LC=詈；所以有zBPQ=7r一(￡PQ曰+ZB)=zCRQ=仃万方数据2014年第1期中学数学研究·13·一L／__KqC+￡o)=[A武，(1)，在RtZkIK尸甲，／_ARP+￡APR=手(2)．由(1)(2)可知￡AP尺+二曰PQ2手'．．·乞即Q2手，即RP上PQ．由平行线截线段成比例定理，得篆=A

6、历E，箦=B历F，故蕴RA+器=墨铲，在梯形AE刚邶G为中位线=幽2，丝CR+鲤CO=婴CG=l，即妲CO=～．一+一=一=lK¨一='。1'’●垒≮素丝(3)．由前面论证易知，ABqP”ACqR=,箦=簇=丝qR=si似4)，由(3)(4)两式可知箦=％≠=酣BP·．CR一融=BPe,AC一2Put=AB—AP’础=扣P=詈，即=4一m，CR=4一孙na：生：三生(5椭t⋯t：KtZM⋯IAFi，slna2——2——L3，，叨。4一詈1+tan2詈,tan／_ARP=tan罕=面AP=2，轧n詈=丢，代入(5)中得·4忑-m=÷，解出m

7、=了4，即AP=’241。解法3(算两次)：如图4所示。以A点为坐标原点，AB边为菇轴，AC边为y轴，建立平面直角坐标系．则点A的坐标为(O，0)，点B的坐标为(4，O)，点C的坐标为(O，4)，c为重心且坐标为(了4，i41，图4设P点坐标为(m，0)(m>0)，R点坐标为(0，‰)，Q点的横坐标为戈。．设直线RQ斜率方k(后≠0，因为后=0时，显然不会回到P点)，‘．’即上Pq(证法同解法二)，．．．直线RP与直线PQ的斜率分别为一矗，÷直线RP的方程为)，=一k(x—m)，令菇=0，‰=IiIm，同理直线尺Q的方程为)，一了4=．j

8、}(石一÷)，令菇=o，，，。=÷一争，得詹m=了4—43．k(1)．而直线eq的方程为，，=÷(石一m)，直线BC的方程为，，=一石+4，联立两者解出菇口=等等半，同理联立直线Rq与直线BC