一道美国数学月刊征解题的新解与推广.pdf

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1、8福建中学数学2013年第9期A+−BAB2CABC=+2coscos12sin−4coscoscosABC≤0，而4sinsinsin≥0，222222CAB−2C∴cosA++≥cosBCcos14coscoscos+ABC；=+2sincos12sin−222当ΔABC为锐角三角形时，CA⎛⎞−BC=+12sin⎜⎟cos−sincosA+cosBA+−BABcoscosAB≤=coscos222⎝⎠222CA⎛⎞−+BABCABC−=+12sincos⎜⎟−cos=≤sincossin．22⎝⎠2222CA⎛⎞−BAB=+12sin⎜⎟−2sinsin同理有coscosBC≤s

2、in，cosCAcos≤sin．22⎝⎠222ABCABC=+14sinsinsin．∴≥sinsinsincoscoscosABC，222222当ΔABC为直角或钝角三角形时，∴cosA++≥cosBCcos14coscoscos+ABC．一个不等式猜想的证明及推广吴赛瑛福建省大田第一中学（366100）文［1］给出了几个不等式猜想，其中一个猜想⇔4[9(abbcca++++++)6(abc)3]为：若abc，，为满足abc=1的正数，则≥+3[27abc9(abbcca++)3(+abc++)1]+1113⇔9(abbcca++++++≥)15(abc)981abc……①++≥．a

3、a+++222bbcc232因为abc=1，所以abbcca++≥3()3abc=，2(aaa++1)31+3证明因为21（）aa+≤=，abc++≥33abc=．22故9(abbcca++++++)15(abc)91222所以=≥．≥×+×+==9315398181abc，aa+221（）aa+31a+即①成立，从而原不等式成立．122122同理有≥，≥．用同样的方法，易将此猜想推广为如下：bb+231b+cc+231c+定理若abc，，为满足abc=1的正数，且22222231113现只需证++≥λ∈[02]，，则++≥．313131abc+++2λλλaa+++222bbccλ+

4、1444参考文献⇔++≥3313131abc+++[1]宋庆．关于一些不等式的研究和讨论．中学数学研究（江西师大），2012⇔++4[(3bcacab1)(31)+++(31)(31)+++(31)(31)]（12）：19-21≥+++3(3abc1)(31)(31)一道美国数学月刊征解题的新解与推广邹秋婷吴兰华南师范大学数学科学学院（510631）222题目设xyz，，∈+(0，∞)且xyz++=1，求求f上界的抽屉原则的解法，文[3]给出了幂平均不函数f=++−xyzxyz的值域．等式的解法．此题运用初等数学的知识来解难度都这是一道《美国数学月刊》征解题，文[1]运用比较大，下面以

5、高等数学中的拉格朗日乘数法为突三角代换及导数给出了此题的一个解法，文[2]给出破口，给出此题的一个简单解法．2013年第9期福建中学数学922解设拉格朗日函数为Lxyz()，，，λ=++−xyz(5)×x−×(6)x，得：xxxxxxxx...−=...−，21231nn321222xyz−++−λ(1xyz)，对L求偏导数，并令它们都即(xxxxxx−)[(+−)...1]=0．21213n等于0，则有则x=x或(xxxx+)...=1．21213n⎧∂L若(xxxx+)...=1，因为xx22+++=...x21，=−−120yzλx=，213n12n⎪∂x222⎪故()x+xxx

6、xx...=+++...x⎪∂L⎧yz+=21λx，(1)213nn12=−−120xzλy=，⎪111⎪⎪∂y⎪xz+=21λy，(2)=(x22++++xxx...2)(22++++xxx...2)(22+x)⎨即⎨22213nn2312⎪∂L⎪xy+=21λz，(3)⎪∂=−−120xyλz=，⎪222++=≥+nn−−11(nn−−11xxx...)22(xxx...)z⎩xyz1(4)，13nn23⎪22⎪∂L=−(1xyz222++−=)0.122⎪⎩∂λ++()x12x（7）222(1)×−×yx(2)，得：yzxzyx−=−，n−112下证(n−xxx...)≥xxx.

7、..．设A=xxx...，即(yxyxz−+−)[()1]=0．则yx=或()1yxz+=．213nn1313n若()1yxz+=，由方程（4），n−1n−12n−122即要证()A≥A，即()A≥A，12n−122222有yz+=++=xzxyz()y++z2两边先分别n−1方后，转化为证明：11()x22++zxyy()22≥z+xz+xy，22nn−11−−n1AA≥=⋅()()(A)（8）22nn−−11因此xy=0且yz=，x=z，x