一道数学题的解题方法

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论文题目构建和谐数学课堂，突显学生主体地位学科数学专业数学与应用数学姓名水生荷学校靖远县五合中学8 构建和谐数学课堂，突显学生主体地位水生荷(甘肃省靖远县五合中学甘肃靖远）【摘要】中学数学课程教学主要由两方面构成：一是知识的生成，二是知识的应用。大多数中学数学教师都能灵活自如的上好每一堂新授课，但如何上好一堂习题课？一直是广大中学数学教师最为困惑的。本文由一道习题的讲解展开，浅述上好习题课的一个重要环节——倡导自主探索，动手实践，合作交流式学习。【关键词】习题课自主探索合作交流阴影部分的面积新课程标准理念要求教师从片面注重知识的传授转变到注重学生学习能力的培养，教师不仅要关注学生学习的结果，更重要的是要关注学生的学习过程，促进学生自主学习、合作学习，引导学生探究学习，真正做到变注入式教学为启发式，变学生被动听课为主动参与，变单纯知识传授为知能并重。在教学中让学生自己观察，让学生自己思考，让学生自己表述，让学生自己动手，让学生自己得出结论，正确认识自我，不断提高学生自身数学素养。义务教育课程标准实验教科书（北师大版）七年级数学（下）配套练习册第十页有这样一道题：如图，当a=10时，求阴影部分图形的面积。aa8 课前我只是粗略的看了一下，自认为题目很简单，只需用图中四个扇形的面积减去正方形的面积即可，便没有再深入分析题目，或是探究其他解法，直到上课讲解该道题目时，学生出乎我料想的表现才让我意识到问题的严重性。虽然我尽力通过不同颜色的粉笔勾勒图形，希望能够引导他们发现图形中隐含的规律，但学生们只留给我迷茫的神色。无奈之下，我让学生以小组为单位讨论，这样，我便有时间思考如何将我的方法以一种便捷且易于理解的方式告知他们，但很快，我的注意力就被学生们激烈的讨论所吸引，不知不觉中参与到了学生行列，引导、聆听他们的想法。在他们叽叽喳喳的讨论声中，我开始意识到，自己之前的教学，从未有想过将学生的智慧调动起来，只是一股脑的让自己的思维、思路裹挟学生，希望达到我说前半句，学生就可以沿着我的思绪说出后半句的效果，很多时候还会因为他们跟不上而恼火。可现在，就在这一刻，当我不再把他们紧攥在手中时，我清楚的看到，他们各自的飞翔的样子，一个比一个优美。下面列举出小组讨论后，学生对于该题的几种解法：解法一：过程：作辅助线如图所示DC②①EFAB则S①+②S矩形ABFE-S半圆S阴影S矩形ABCD-4×S①+②8 当a=10时，S阴影解法分析:观察到图形的对称性，只关注图形的一半：用矩形ABFE的面积减去一个半圆的面积，得到空白图形①和②的面积，在回归到原图形当中，发现整个空白图形的面积等于4S①+②，故阴影部分面积等于S矩形ABCD-4S①+②。教师评语：此方法没有直接求解阴影部分的面积，而是先求出空白图形的面积，由总面积减去空白图形的面积得到阴影部分的面积，反其道而行之，注重逆向思维的演练。解法二：过程：作辅助线如图所示FE①DCABM则S①=S正方形ABCD-S扇形ABC8 S阴影=S正方形AMEF-8×S①当a=10时，S阴影解法分析:只取原图形的四分之一，用正方形ABCD的面积减去扇形ABC的面积得到空白图形①的面积，然后用正方形AMEF的面积减去8s①得到图中阴影部分的面积。教师评语：与解法一有异曲同工之妙，先求阴影部分的对立面—空白图形的面积。解法三：过程：作辅助线如图所示①CAB则S①S扇形ABC-S△ABC8 S阴影8S①当a=10时，S阴影解法分析：图中阴影部分①的面积可由扇形ABC的面积减去三角形ABC的面积，而整个阴影部分的面积由图形的对称性可知是阴影部分①的面积的8倍。教师评语：直接求阴影部分的面积，简单、快捷。解法四：过程：作辅助线如图所示②①DCAB则S①=S正方形ABCD-S扇形ABC8 S②=S正方形ABCD-2S①S阴影=4S②当a=10时，S阴影解法分析：取原图形的四分之一，由正方形ABCD的面积减去扇形ABC的面积得到空白图形①的面积，再由正方形ABCD的面积减去2s①得到阴影部分②的面积，而原图形中阴影部分的面积等于4s②。教师评语：由阴影图形的四分之一着手进行运算，方法独特，新颖。还有几种类似解法，这里不再一一例举。看到学生独立思考，进而通过合作交流，由对图中空白部分和阴影部分各部分的条件转换得到阴影部分的面积大小。这是集体智慧的结晶，我由衷的敬佩他们的聪明才智，暗自心想：幸亏自己当时给了他们交流讨论的时间和机会，而没有专断的只给予答案，方才得到如此之多的精美解法，以至于我都忘了将自己心中原有的解法告知他们！8 很感谢自己在那一瞬间将学习的主角退让给学生，也打心底里为他们精彩的“表演”而高兴。由此，做为教师应将学习的主体地位退还给学生，让学生在自由的空间最大限度的发挥他们的聪明才智，懂其所学，学其所得，用其所得【1】。【结束语】传统的数学习题课，教师都像是一个注水管，只自顾自滔滔不绝的将所备内容向学生注入，很少有考虑到学生的承载能力，学生的数学学习只限于被动接受，记忆，模仿和练习。习题课枯燥无味，学生的厌烦情绪逐渐渗透到正常的数学学习过程当中，很多学生对于数学学习表现出无助，害怕，恐惧等心理，久而久之，日渐失去学习数学的兴趣和丧失自主学习的劲头，难以顺利接受新知，最终导致数学学习失败。诚然，教师的教学不可能让所有不同基础的人都能获得同步发展，但能为每一个学生提供不同的发展机会和可能【2】。这就要求教师在教学过程中积极创造一个平台，让学生个体带着自己原有的基础和生活体验参与到学习活动中，发挥他们自身丰富的知识体验和生活积累，充分调动这一天然课程资源，满足每个学生的发展，激发每个学生的智慧潜能，努力实现不同的人在数学上得到不同的发展。【参考文献】[1]张晓辉.新课标下中学数学教学中的反思.江西教育出版社,2008(12).[2]王泽平.试析《数学课程标准》对数学教师的新要求.江西教育出版社,2008(06).一道练习题引发的教学思考（设计）8 教师总结:上述方法中，同学们以不同的角度展开，给出了各种优美的解题思路，但同时我们可以发现，上述解法有一个共同的特点，请同学们找出来生：我发现这几种做法，同学们都是将图形分割成小部分进行计算的师:那么能否从整体出发去解决呢？同学们可先思考阴影部分是如何出现的?生:半圆与半圆重叠而形成，重叠的部分就是阴影部分师:图中四个半圆的面积之和大还是正方形的面积大？生：四个半圆的面积之和大师：大的部分可视为那部分的面积？生：（抢答）阴影部分因此教师引出重叠问题中存在的一般规律：重叠部分的面积=不重叠时的面积-重叠后图形的面积该道题可从重叠的角度考虑：依据重叠问题存在的一般规律：正方形内四个半圆的面积和为S正=显然四个半圆能容纳与正方形中，其原由便在于半圆之间进行了部分重叠，而重叠的部分恰好为所求的阴影部分解8