一道高考填空题的多解及思考

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1、一道高考填空题的多解及思考江西省万年中学(335500)李敏今年全国高考数学新课标Ⅰ卷(理)填空压轴题是一道好题，尽管计算量有点大，很多学生不敢做导致得分率较低。笔者分析发现此题是解三角形的问题，只要明确思想，是很容易找到方法，快速解答的。题目在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是（2015全国新课标Ⅰ理科16题）。分析1：将线段AB用某一个变量表示，即AB=f(x),然后根据变量x范围和函数f(x)性质（单调性、奇偶性等）确定f(x)的值域，即线段AB长度的取值范围。对于变量的选取可以是角度θ，图1也可以是边长x，因此，就有以下两种解法。解法

2、1：如图1，连接AC，设∠ACD=θ，则∠DAC=45°－θ，∠BAC=30°+θ，∠ACB=75°－θ,θ∈(0°,45°)，在ΔABC中，由正弦定理得2sin(30°+θ)=ABsin(75°－θ),所以AB=2sin(75°－θ)sin(30°+θ)=2cos(15°+θ)sin(30°+θ),记φ=15°+θ，则φ∈(15°,60°),∴AB=2cosφsin(15°+φ)=2cosφsin15°cosφ+cos15°sinφ=2sin15°+cos15°tanφ。记f(φ)=2sin15°+cos15°tanφ，易知f(φ)在(15°,60°)上单调递减,图2∴6－2=f(

3、60°)<f(φ)<f(15°)=6+2，即6－2<

4、AB

5、<6+2。解法2：如图2，延长BA、CD交于M，由于∠ABC=∠DCB=75°，则MB=MC，取BC中点O，连接MO，则MO⊥BC，且OB=1，MB=MC=1sin15°=6+2。设CD=x，x∈(0,6+2),则MD=MC－CD=6+2－x,在ΔMAD中，MDsin105°=MAsin45°，即6+2－xsin105°=MAsin45°，解得MA=22－(3－1)x,∴BA=6－2+(3－1)x。记f(x)=6－2+(3－1)x,易知f(x)在(0,6+2)上递增,∴6－2=f(0)<f(x)

6、<f(6+2)=6+2，即6－2<

7、AB

8、<6+2。评注：以上两种解法利用了函数思想，在函数思想指导下，选取适当的变量进行表述。特别强调要注意变量的范围。分析2：线段AB是几何图形，容易想到几何法求解，因此就有以下两种解法。解法3：如图3，以BC中点为原点O，BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系。图3∵∠MBC=∠MCB=75°,∴kMB=tan75°=2+3，kMC=－(2+3)，kAD=－33。∵B(－1,0)，C(1,0),∴LMB:y=(2+3)(x+1),LMC:y=－(2+3)(x+1),D(a,－(2+3)(a－1))，a∈(0,1)，则

9、LAD:y=－33(x－a)－(2+3)(a－1),由y=(2+3)(x+1),y=－33(x－a)－(2+3)(a－1)解得xA=(1－3)a。∴

10、AB

11、=1+k2MB

12、xA－xB

13、=8+43

14、(1－3)a+1

15、=(6+2)

16、(1－3)a+1

17、。∵a∈(0,1),∴2－3<(1－3)a+1<1,2－3<

18、(1－3)a+1

19、<1,∴6－2<(6+2)

20、(1－3)a+1

21、<6+2,即6－2<

22、AB

23、<6+2。图4解法4：如图4，等腰ΔMBC，ΔNBC，∠MBC=∠MCB=∠BNC=∠BAD=75°，所以，AD∥NC，由于BC=2，所以NB

24、=2·BC·cos75°=6－2，MB=6+2。∵点A在线段MN（不含端点）上，∴6－2=

25、NB

26、<

27、AB

28、<

29、MB

30、=6+2。评注：数形结合是重要思想方法，也是高考考查的重点。数形结合的思想就是将数与形相互转换，即以形助数、以数助形，将数学问题简单化、形象化，以便快速地把握到问题的本质，帮助学生在问题陷入僵境时寻找突破口，达到快速解题的目的，解法4特别巧妙，计算量小，容易理解。