一道高考填空题的解法提炼

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1、由止弦定理可得:OMONsinZMNO_sinZOMV一道高考填空题的解法提炼与教学思考西安市育才中学数学教研组胡李栋一、问题提出2014高考全国新课标II理科第16题：设点M（兀（）,1）,若在圆0:十+丿2=1上存在点N,使得AOMN=45°,则兀（）的収值范围是.这是一道以圆与直线的知识为背景，主要考查学生抽象概括能力、逻辑推理能力及直觉思维能力的填空题，题目条件简洁明了，语言朴实优美，且内涵丰富，是一道优秀的高考试题，同时也具备良好的思维训练价值，是一道高三复习屮值得去研究，提炼和深思的习题.题目背景虽不复杂，条件也不难读懂，但要“下手”仍不容

2、易，其至难度较人，关键在于“吃透条件”，理解条件的内涵，并进行必要而恰当的转化，才能“柳暗花明”，到达成功的彼岸.二、解法探究解法一：分析条件“在^10：x2+j2=1上存在点N,使得ZOMN=45°",可转化为“过点M作与OM夹角为45°的胃线Z,与圆必有交点”,从而把问题转化为圆与直线位置关系的问题.过点o作直线垂直r直线i，垂足为p点，则冇OP<,在三角形MOP中OP=OMxsin45°=—OM可得2兀o€[-1」]解法二：在三角形MON>p,AMON<90°（当N为切点时ZMON=90°）解法三、仔细观察题目条件，注意到“点m的纵坐标为1”和

3、“ZOMN=45°”这两个条件的特殊性：当点M坐标为(1,1)时，过M作圆的切线2,夹角恰为45°,耍满足题意要求，直线OMLj切线的夹角必须不小于45°,即可推得xog[-M1-三、教学思考解题教学中，我们越来越重视学生的口主探究、合作交流，这有利于调动学习积极性并培养自主洋习能力，但教师高水平的引领和指导是必不可少而且至关重要的，解题思路的点拨与解题方法的总结提升是教师在解题教学中的主要任务.1.思路点拨而对一道学生无法下手的难题，教师不能包办讲解，把课堂变成教师的“秀场”，也不能无所作为，任由学生“口主探索”，而耍精心点拨，激发学生的思维，启迪学

4、生的智慧，解决“如何想到这样做”的问题.寻找解题思路，正确的方法很重要，苏联著名数学家塔尔塔科夫斯基对解题思路有个形象的比喻，“寻找解题答案就像玄•抓藏在石堆里的老鼠”，耍么“把石头一块一块搬开，找到老鼠”，还可以“留心观察，一旦发现老鼠尾巴，抓住尾巴将老鼠拖出来”.教师就可以从这两个角度去引导学生去思考，寻找本文例题的解题思路.思路一：你在解决本题过程中，遇到了什么样的困难？条件“在圆O：x2+j2=1±存在点N,使得ZOMN=45°"无法直接运用，如何加工、转化？做什么样的辅助线？转化成什么样的常见问题？思路二：仔细读题，认真观察，题中数据有没有特

5、殊的地方？进一步引导学生去思考,能否直接观察出某个满足题目要求的特殊点？再依托图形去推理，直接得出正确答案？这样，学生才能感受到“口然的思考过程”，思维能力得到锻炼提升，从I何提高解题能力.2.总结提升解题教学，尤其是在高三复习课中，教师还耍从较高的高度去帮助学生总结、提升，才能提高教学效率,巩I古I教学成果，进一步提升学生对数学问题的理解.(1)一题多解，更耍多题一解一题多解，往往冇利于从不同角度來分析问题，培养学生发散思维，但教师在“一题多解”后，要刈解题方法进行归纳、梳理，既要突出通性通法，乂要重视在考场提高解题效率.本文例题有很多解法，可归纳为

6、以上三种解法：方法一与方法二突出对■题目条件进行加工、转化，“陌生问题熟悉化”，通过建立学生熟悉的数学模型来解决问题；方法三是特殊化思想，直接观察出特殊点，再进行必要的推理，直接得出答案，应该提示学生，在客观题的解答中，要高度重视特殊化思想，小题巧做，提高解题效率.（2）提炼解法背后的数学思想通过木题，我们应该去思考解析儿何中解决问题的基木方法.解析几何的核心是“用代数的方法研究几何问题”，解题方法往往具有程序性，但如果只是满足“程序化”，盲冃解题，容易陷入运算泥潭.所以，解析几何问题的求解，要重视“代数化“，更要进行必要的几何分析，数形结合，探求简洁

7、而有效的解题方法.本文例题的解题思路似乎也不难找，用X。表示出过点M且与宜线0M夹介为45’的直线方程，再利用直线与関的位置关系只是求解，但操作起來，运算量极大，难以实施.教师要通过该题的教学，引导学生意识到，解析几何的研究对象仍然是几何图形，数形结合是处理解析几何问题的基本思想方法，耍善于观察图形，研究并利用图形的几何性质，积极转化，寻找更简洁的解题方法.