一道联考填空题的五种解法_邹生书.pdf

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1、２４数学通讯———２０１２年第１１、１２期（上半月）·辅教导学·３ａ－ｂ自己的解题能力，仅仅靠多做题目还是不够的，如ａ＜，整理得２果能在知识点的应用上多下功夫，提高自己对知ｂ＜５⑤识点的认知程度，往往能起到事半功倍的效果．ａ３ｂ３５综合②、③、⑤得∈（，）．（收稿日期：２０１２－０６－０５）ａ４３笔者认为，同学们要想提高解题的效率，提升一道联考填空题的五种解法邹生书（湖北省阳新县高级中学，４３５２００）题目设抛物线Ｃ：ｙ２所以＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，其准线与ｘ轴的交点为Ｑ，过点Ｆ作直线交ｘ

2、２１－ｘ２＝ｍ（ｙ１－ｙ２）＝ｍ·２ｐ槡１＋ｍ抛物线Ｃ于Ａ，Ｂ两点，若∠ＱＢＦ＝９０°，则ＡＦ－２（１＋ｍ２＝２ｐ槡ｍ）．ＢＦ＝．由∠ＱＢＦ＝９０°知点Ｂ在以ＱＦ为直径的圆这是湖北省武汉外国语学校和钟祥一中２０１２上，圆的方程为届高三４月联考数学理科第１２题，笔者所带班级２２２ｐｘ＋ｙ＝③仅有两人填对，找这两个学生问及解题过程，一生４说是猜的，一生把过程讲给我听时结果发现过程槡５－２联立①③解得ｘ２＝ｐ，ｙ２＝－槡槡５－２ｐ．有误答案实属歪打正着，实际上是“全军覆没”．本２题确实是一道难题，特别

3、对运算能力的要求较高所以直线ＡＢ的斜率难度属于压轴题，本题不但没有放到后面压轴反ｋ＝ｙ２＝－槡槡５－２ｐ＝２槡槡５－２，而位置相对靠前，因此学生低估了该题难度没有ｘ２－ｐ槡５－３３－槡５２ｐ解难题的心理准备，本想轻松拿下结果深限泥泞２而不能自拨．本文给出五种解法与大家交流．１３－槡５所以ｍ＝＝，所以解析如图１，设Ａ（ｘ１，ｋ２槡槡５－２ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）且ｙ１＞０，ｙ２＜２１１４－６槡５７－３槡５槡５－１，ｍ＝２＝＝＝０，则ｋ４（槡５－２）２（槡５－２）２ｐ所以ＡＦ－ＢＦ＝（ｘ１＋）－２ｍ

4、２（１＋ｍ２）＝槡５－１（１＋槡５－１）（ｘｐ）＝ｘ２２２＋１－ｘ２．２设直线ＡＢ的方程为ｘ＝图１＝槡５－１·槡５＋１＝１，２２ｍｙ＋ｐ，将其代入抛物线方程所以ＡＦ－ＢＦ＝２ｐ．２解法２（设而不求）由①③消去ｙ得ｘ２＋２ｙ＝２ｐｘ①１２２１２２得ｙ２－２ｐｍｙ－ｐ２＝０②２ｐｘ－ｐ＝０，故ｘ２＋２ｐｘ２－ｐ＝０，故ｘ２＝４４以下有三种不同的解题途径．１２２（１＋ｍ２），ｐ－２ｐｘ２．解法１（设而求之）因为Δ＝４ｐ４·辅教导学·数学通讯———２０１２年第１１、１２期（上半月）２５因为直线ＡＢ的斜率

5、ｋ＝ｙ２，所以ｍ＝２，即ｐｐｘ２－２Ｒ＋ｒ２＝①ｐＲｒｐｘ２－１＝２，所以因为∠ＢＦＱ＝∠ＢＡＰ，∠ＱＢＦ＝∠ＢＰＡ＝ｋｙ２ＡＰＱＦ２１２９０°，所以△ＱＢＦ∽△ＢＰＡ，所以＝，即ｘ２－ｐｘ２＋ｐＡＢＢＦ２１４ｍ＝２＝２Ｒ－ｒｒｋｙ２＝②Ｒ＋ｒｐ１２１２（－２ｐｘ２ｐ２）－ｐｘ２＋ｐ（Ｒ＋ｒ）２，整理得Ｒ２４４①÷②，得＝－２Ｒｒ＝Ｒｒ（Ｒ－ｒ）ｒ２ｐｘ２２ｐ－６ｘ２－ｒ＝０，解得Ｒ＝（２＋槡５）ｒ．＝，４ｘ２５－１将其代入②得ｒ＝槡ｐ．所以１＋ｍ２＝ｐ－２ｘ２，所以２４ｘ２５－１所以Ｒ－ｒ＝（

6、槡５＋１）ｒ＝（槡５＋１）·槡ｐｍ２（１＋ｍ２）＝ｐ－６ｘ２·ｐ－２ｘ２２４ｘ２４ｘ２＝２ｐ，即ＡＦ－ＢＦ＝２ｐ．２２ｐ－８ｐｘ２＋１２ｘ２＝解法５如图３，设抛物２１６ｘ２线的准线为ｌ，分别过点Ａ，Ｂｐ２－４（１ｐ２－ｘ２）＋１２ｘ２４２２作ｌ的垂线，垂足分别为Ｍ，＝２１６ｘ２Ｎ，过点Ｆ作ＡＭ的垂线，垂足＝１．为Ｐ．故ＡＦ－ＢＦ＝２ｐ．设ＡＦ＝Ｒ，ＢＦ＝ｒ，设解法３同解法１解得ｘ槡５－２∠ＡＦｘ＝θ∈（０，π），由抛物图３２＝ｐ．２线定义得ＡＦ＝ＡＭ＝ＰＭ＋因为ｙ１，ｙ２是方程②的两个根，所以ｙ

7、１ｙ２ＡＰ＝ＱＦ＋ＡＰ，即Ｒ＝ｐ＋Ｒｃｏｓθ，所以Ｒ２，所以ｙ２２４，又ｙ２，ｙ２，＝－ｐ１ｙ２＝ｐ１＝２ｐｘ１２＝２ｐｘ２ｐ＝．２２１－ｃｏｓθ所以４ｐ２ｘ１ｘ２＝ｐ４，所以ｘ１＝ｐ·１＝ｐ·４ｘ２４ｐ同理可得ｒ＝，所以１＋ｃｏｓθ２槡５＋２槡５＋２＝ｐ，所以ｘ１－ｘ２＝ｐ－（槡５－２）ｐ２２ｐｐＡＦ－ＢＦ＝Ｒ－ｒ＝－１－ｃｏｓθ１＋ｃｏｓθ槡５－２ｐ＝２ｐ．故ＡＦ－ＢＦ＝２ｐ．２ｐｃｏｓθ２＝２．ｓｉｎθ如果合理利用抛物线的有关性质，数形结合在Ｒｔ△ＱＢＦ中，ＢＦ＝ＱＦｃｏｓθ，即ｒ＝ｐｃｏ

8、ｓθ，来进行考虑，可得到下面的两种解法．ｐ２解法４（数形结合巧借所以有１＋ｃｏｓθ＝ｐｃｏｓθ，化简得ｓｉｎθ＝ｃｏｓθ．焦半径性质）如图２，设抛物于是ＡＦ－ＢＦ＝２ｐ．线的准线为ｌ，分别过点Ａ，Ｂ解法５以数形结合思想为主，同时充分利用抛作ｌ的垂线，垂足分别为Ｍ，物线的定义和灵活运用三角函数建立等量关系，Ｎ，过点Ｂ作ＡＭ的垂线，垂足解法直观简洁，运算量小，是解决本题的最优美的为Ｐ．解法．设ＡＦ＝Ｒ，ＢＦ＝ｒ，由抛图２１１（收稿日期：２０１２－０６－０６）物线焦半径性质得＋＝Ｒｒ