初中数学论文：由一道中考填空题引发的解法探究

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1、初中数学论文由一道中考填空题引发的解法探究　1源试题背景及分析M图1图3图2（2013•哈尔滨）如图1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为_________．在中考复习时，我将本题作为锐角三角函数专题练习呈现给学生，发现多数学生对本题束手无策，或者思考停留时间过长，后我向学生进行了解，发现学生面临这两个问题：不能充分挖掘本题条件以致无从入手，计算繁冗以致费时。在回答正确的学生中，继续了解发现，学生基本解法是过E点(或B点)作OB的垂线，构造直角三角形，利用相似（或锐角三角函数）计算相应直角三角形的

2、所需边长，再求sin∠BOE。通过对学生解题过程的详细了解，我觉得本题的解题价值还可以进一步挖掘，可以通过对图形的研究考察，联系条件和结论，挖掘隐性圆，找到更简洁的方法，实现优化解题过程。于是，练习讲评时，我对这道题进行了重点讲评，并筛选同类练习引导学生举一反三，通过寻找隐形圆，让解题思路豁然开朗，进一步让学生明白对充分研究题目条件的重要性。2教学片段回放……学生1：我的解题思路是这样的。解：如图2，连接EC．由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线.∴CE=AE，∴∴又BC=4，∴AE=5，∴EC=5，在Rt△BCE中，由勾股定理得：∴AB=8，∴，4∴，，，∴∴∴教师：(用敬佩的眼光

3、看着学生)学生1的解法很严谨，基本知识扎实，运用娴熟。教师：但是，经历如此繁冗的解题过程，等到的结果竟然是如此简洁。我们不禁要反思，结合结果我们能否有新的发现？学生2：我发现。学生3：根据学生2的发现，由锐角三角函数的定义，我们如果能证，问题就可以解决了。教师：有什么办法可以证明学生3的猜想？（学生立即议论起来，方法各有不同）学生4：∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°，（不需要作垂线EM，如图3）∴B、C、O、E四点共圆，∴∠BOE=∠BCE．教师：（惊喜）学生4通过将B、C、O、E四点的圆化隐为显，使角与角是转化变得轻松，也大大简便了计算过程，。至此，可以看到，这道题的解题

4、和教学功能得到了很好的释放。学生在经历繁冗的计算过程后，隐形圆的发现让求解过程变得轻松而富有魅力，学生欣然接受甚至迷上隐形圆，也在不知不觉中开始注重条件信息的充分挖掘，探索解题技巧，为完善数学思维插上一对隐形的翅膀。教师：题目的难易程度，有时关键在于我们对条件的整合梳理。请同学们仔细阅读下题。抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．（1）如图4．求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．4①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；②若

5、含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．图4图5（1）把x=0代入抛物线得：y=，∴点A（0，），∵抛物线的对称轴为x=1，∴OC=1；教师：问题（2）中，按照常规的做法，①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式．②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标．学生5：问题（2）中，根据已知条件，我发现C、D、E、Q四点共圆，所以，这样，在①小题中我们可以得到等腰直角三角形BCQ

6、,在②小题中我们得到，通过分类讨论，易得Q点的坐标，从而求出P点的坐标。教师：（微笑以示肯定）学生5是怎么这么快就发现了隐形圆的？学生6：因为，根据直径所对的圆周角为，可以发现一个以CE为直径的隐形圆。图6图7教师：根据同学的发现，我们现在来进行动手操作：有一张直角三角形ABC纸片，，我们将翻折，使得点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（如图6）（点E、F分别在边AC、BC上），当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．学生7：当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似。如图7，连接CD,发现C、E、D、F四点共圆,得到，由于CD是斜边上的中线，得到，所以，所以，

7、又所以和相似，即△CEF与△ABC相似。教师：对于上述图形中，同学们都能找到一个隐形圆，那么是不是只有上述情形中才能有隐形圆呢？其实，并非仅仅如此。更多不同情形下的4隐形圆，等待同学的用心发现。2教学分析2.1利用填空题进行解法技巧教学填空题的考查功能之一，是可以有效地考查学生的阅读能力、观察和分析能力，学生读懂了，理解透彻了，正确的结论也就出来了，在加快解题速度的训练上，有较明显的教学教育功能。所以，在学生熟练掌握概念、法则、公式