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1、一道数学填空题引发对细节的思考摘要：数学是一门严谨的学科，教师的发展就是为了每一位学生的发展，但是在教学过程中总是容易忽略一些细节，这其实会阻碍学生的发展，要时刻记得注意细节是不容忽视的z只有缜密的教学语言才能使学生形成严密的思维方式.关键词:细节集合区间角度制弧度制某次考试后的集体改卷中，我们备课组成员对于该考卷中的某道题目的处理产生了争议.填空题13题：求函数y二sin(2x+)的单调递增区间.学生给出的答案有主要有两种写法：(1)(kn-zkTi+)keZ(闭区间也给分)(2){x/km备课组老师有的认为(1)的写法比较准确
2、，有的则认为两者都可作为正确答案.必修一在第1章第2节：函数及其表示中，通过集合给出区间的概念，所以区间是集合，是一个数集，但区间必须指的是一个连续的范围，所以区间并不等同于集合z或者说z并不等同于数集.在很多情况下，区间与数集具有相同的效果，可以相互转化表示某一个范围，如：例1:[lz5]={x/l5}.例3:函数f(x)二lg(x-1)既可以说在(1.+8)递增，又可以说在{x/x
3、>l}上是增函数.那么例1中的单调区间的两种表示方法是否都正确呢？笔者认为，第一种表示方法指的是多个区间，当k取不同的整数的时候，表示不同的区间，如：k=-l表示区间(-,-)zk=0表示区间(-z-),.表示区间(，)，即k取遍所有整数时的各个区间，即它不等同于这些集合的并集.而第二种表示法方法指是多个区间的并集,BP：...U(-/-)U(-/-)U(,)U…即k取遍所有整数时所得区间的并集•再者，我们了解，对于函数的单调性,只能在定义域的某个区间上进行硏究，不能将单调性相同的区间并起来，如函数f(X)二的单调区间，学生容易误
4、写成：(-ooz0)U(0;4-00),而正确的写法为：函数的单调区间为(・oo,0)和(0,+8),它指的是函数有两个单调递增区间•所以例1中的函数的单调区间应该是有无数多个，而不是取并集为一个区间.这个问题其实在必修四中正切函数的性质也有所体现：〃正切函数在开区间(-+kTi,+kTi),keZ内都是增函数.〃认真观察我们便会发现，对于单调区间，课本是有给出严谨的表示的，即三角函数中的单调区间基本都会用区间表所以事实上，数集和区间并不能等同，数集和区间在其他地方也是有区别的.例如：对于离散的数集，可用集合｛1,2,3,4｝表示
5、，但不能用区间表示若给定集合｛x/m-1-2,即此区间一定有意义，不为空集.所以数集和区间并不能简单地等同，它们之间存在区别，我们必须认清它们的区别并正确使用，例如：函数y二lg(sinx)的定义域正确表示则应该为｛x/2kti总之,区间的概念是在集合的基础上给出的,在很多情况下区间和集合可以相互转化.其实在本题中,集合与区间的区别仅仅在于后面的kGZ,比如区间(，ti)与集合{X/数学是一门非常严谨的学科z数学教师应该在教学中处处体现其严谨性，这样学生才能在学习中逐步形成严密的思维方式，在教学中不能模棱两可，是就是，不是就不是，
6、容不得半点纟比漏，要注意各种细节的不同•在高中数学教学过程中，其实还有很多细节需要我们注意，比如此题学生所写答案除了本文开头两种外,还有部分学生的答案为（3）{x/k-180°-75°对于这个答案，备课组老师们大多数认为，因为函数的定义域必须是数集，而单调区间是定义域的一个子集，所以必须为数集，那么就必须用弧度制表示，所以这类答案肯定不正确•那么,事实真是如此吗?必修一是在两个非空数集的基础上给出函数的概念，于是，在高中教学中，有很多老师在给学生介绍弧度制时都以为了使研究三角函数时，使得角与实数集对应为理由，但真的是如此吗？事实上
7、，弧度制和角度制是度量角的两种不同的方式，而其实,无论是角度制还是弧度制，都能使得每个角都有唯一的实数与之对应，也就是说，无是有角度制还是弧度制，都能够建立三角函数，三角函数的走义域及单调区间也能用角度制表示,所以笔者认为，第（4）种答案也是可以的•那么到底为什么有了角度制还要引入弧度制呢？我们知道角度制为六十进制,而弧度制是用长度单位度量角,是一类十进制的实数，弧度制的定义巧妙地将长度单位和角度单位统一起来”这给硏究三角函数带来很大的便利•而且在必修四给出三角函数的定式义时:是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（xzy），那么
8、，y叫做a的正弦，即since二yz这个时候，y的单位为长度单位,若此时，角a采用角度制，则它们的单位无法统一，而弧度制恰恰解决了这个问题.当然，因为角度制是用角度量角，而弧度制是用长度度量角，这种方式学生理解起来会有些困难，在教学中解释为什么引入
