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1、一道中考压轴题多解研究袁培雄OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上。OA=10,OC=6。y图1（1）如图1,在AB±取一点M,使得ACBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B，点。求B，点的坐标；（2）求折痕CM所在直线的解析式；（3）作BrG//AB交CM于点Gc若抛物线y二丄x2+m过点G,求抛物线的解析式,6并判断以原点0为圆心，0G为半径的圆与抛物线除交点G外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标。这道中考压轴题是几何与函数综合题，试题把矩形0ABC置于直角坐标系之中，用翻折方法将矩形的一边同一直角变化位置，且令其折痕与抛物线
2、y=
3、x2+m相交于点G,从而求折痕CM所在直线与过点G的抛物线的解析式。从答案看，求折痕CM所在直线的解析式用的是C、M两点坐标；求抛物线y=lf+m的解析式用的是G点坐标。从图看，若设折痕CM的延长线与x轴的交点为N（如图1）,则折痕CM所在的直线上就有C、G、M、N四个点的坐标可求，故折痕CM所在的直线解析式有六种解法。由此可见，点G坐标在后两问求解中具有关键性作用，所以点G坐标的几何解法就颇有研究必要。（1）求点B，的坐标；解：如图1,因为RtACB'M是RkXCBM折叠而來的。所以RtACB*M=RtACBM,所以CB』CB=10。在RtACOB*中，OB*2=CB,2-C
4、O2=102-62=64o所以0B*=8（负值舍去）。所以点B，坐标（8,0）o（2）求折痕CM所在直线的解析式：首先求C、M、G、N四点坐标；易知点C坐标（0,6）o求点M坐标：解法1：如图lo因为RtACB'M=RtACBM,所以B*M=BM,设AM=x则B'M=BM=6-xoXB,A=OA-OB,=10-8=2,在RtzXB'AM中,BrM2=BfA2+AM2,所l^(6-x)2=22+x2,解得x=§,所以AM=-33o所以点M坐标(10,-)3解法2：如图1。因为ZCBO+ZMB*A=180°-ZCB'M,又ZCB,M=ZCBM=90°,所以ZCB,0+ZMBrA=9()°
5、oXZOCB,+ZCB,O=90°,所以ZOCB'^ZMB^o又ZCOBJZB，AM=9(T,所以RtACOB1-RUB'AM。所以AMBAr-r-KI86所以——=一，AM2Q所以AM=—o3OB'COo所以点M坐标(10,-)o3求点G坐标：解法1：如图lo因为RtAB'AM〜RtACOB'（已证），B*MB'A十-B'M2所以，所以——二一，CO106所以B*M=—3因为GB7/BA,所以ZB,GM=ZCMB,o因为RtACB*M=RtACBM,所以ZCMB^ZCMB,所以ZB,GM=ZCMB,,所以B，G=B，M=巴，3所以点G坐标(8,—)o解法2：如图1,延长CM交x轴于
6、N。因为RtACB*M2RtACBM,所以ZB'CM=ZBCMo因为CB//B*N,所以ZBCM=ZB，NM,CB1所以ZB,CM=ZB,NM,所以B，C=B，N。因为ZCB*M=ZNB'G=90°,所以RtACB'M兰RtANB'G,所以B，G=B，M因为B*M=—（己解）,所以B*G=—,33所以点G坐标（8,—）o解法3：如图1,延长CM交x轴于N。因为B'N=B'C=10（已证），所以AN=B,N-B,A=10-2=8oQ又AM=-（已解），3因为MA//GB1,比］、［B'GB'N所以——=■,AM所以晋二OANQ所以833所以点G坐标（8,—）o3解法4：如图1,延长CM
7、交x轴于N。Q因为AB=CO=6,AM=-,3Q1A所以BM=AB—AM=6——=一。33因为B，N=CB=10,CB//B，N,所以ZB*NG=BCMo又ZNB!G=ZCBM,所以△NB'GzACBM,所以B*G=BM=—o3所以点G坐标（8,—）o3解法5：如图2,延长CB'交BA的延长线于D。因为CO//AD,所以△COB'〜ADAB',缶MCOOB'所以——=,ADB*A缶［、［68所以——=一，AD2所以AD=—o2在RtAB'AD中,B'D?=BA2+AD2,所以B*D2=22+（-）2,2所以B*D=-（负值舍去），2525所以CD=CB,+B,D=10+,228325
8、DM=MA+AD=-+-=—o326因为BfG//DM,所以△CBG〜ACDM,BrGCB*BrG所以益=沬所以菩遽所以BfG=—o3所以点G坐标(8,—)o解法6：如图3,延长B'G交CB于D。因为CDRBKBMp,因为DG//BM,所以△CDG-ACBM,所以匹二竺，所以器」BMCB10103Q所以，DG=-o3Q1A所以B,G=B,D-DG=6——=—,33所以点G坐标（8,—）o3解法7：设点G坐标(&a),则a=—x8+6=—o一3(8,—)o3
