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《〖WM〗〖JZ〗〖HT1”XBS〗一道复习参考题的错解、剖析与多解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道复习参考题的错解、剖析与多解【题目】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少？这是全FI制普通高级屮学教科书(试验修订本•必修)数学第二册(下B)复习参考题十(B组)第10题.笔者在复习“排列、组合和概率”这章内容吋，选用了此题作为作业评讲题.因为在学牛的作业中发现了-•种看似很有道理的错误解法.为了在积极肯定学生的思维方法的前提卜，一方面做到释疑解惑，另一方面适当扩展知识面，真正发挥复习参考题的“复习”和“参考”功能，对这道题进行了如下的错解、剖析与评讲.【错解】将“两个
2、强队都分在甲组”记为事件A,“两个强队都分在乙组”记为事件B.现共有8个队，每组需耍4个队组成(相当如有4个空位)，故第一个强队到甲组的概率是44―,第二个强队到甲组的概率也是一，因此，“两个强队同到甲组的概率”是88441441P(A)=-x-=-.同理，“两个强队同到乙组的概率”是P(B)=-x-=-.由于事件A与884884事件B互斥，故两个强队被分在同一组的概率为：P(A+B)=P(A)+P(B)=-+丄=丄.4423大多数同学都知道，此题的正确答案是一，显然，此解法冇问题.错在哪里?我们不妨7顺着这个思路作如下分析：【剖析】设分成的两组
3、分别叫做第1组和第2组，两个强队分别叫做甲队和乙队，记事件4为“甲队在第i组”，事件d为“乙队在第i组”(i=l，2)，事件C则为“甲队、乙队在同一组”，这样前而的算式即为：P(C)=P(AlBl+A2B2)=P(A,B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)44441=—x———x—=—88882很明显，错误出在误认为P(AQ)=P(AJP(BJ(i=1,2).事实上，4与B,(i=1,2)不是相互独立的，事件d是在事件AQ=1,2)发生的条件下才发牛.因此，事件Q发牛•的概率,应该是事件d在事件4己发生的条件下的条件概
4、率，不妨记P(d/AJ.可以证明：两个事件同时发牛:的概率等于其中一•个事件发牛的概率与另一事件在前一事件已发牛的条件下的条件概率的积.也就是:P(&0)二P(AJP(Bi/&•).所以：P(C)=P(AlBl+A2B2)戶（佔）+卩（心2）=P(A)P(Q/A)+P(A2)P(B2/a2)43433=—x———x—=—.87877通过以上的错解与剖析，使同学们加深了对和互独立事件概念的理解，同吋对条件概率知识也有了个初步了解，既解决了错解中存在的问题，又激发了学生的求知欲，真止地体现了复习参考题之作用.【通法】下面的三种不同解法，是解决概率计算
5、问题的常用方法.适当的一题多解有助于理解相关概念的木质及其内在联系，冇助于对各种方法进行比较，提高分析问题的能力.解法一：（利用等可能事件的概率计算公式）将8个队平均分成两组，共有C；种分法，要使两个强队同在一组，可先限定它们都在笫1组或第2组，有C；种分法，再从其余6个队中任选2队加入两个强队所在的组，有6种分法，下余4队口成另一组，故共有分法C；C：种，于是所求概率：解法二：（利用互斥事件的概率计算公式）2个强队分在同一个组，包括互斥的两种情况：“2个强队都分在卬组”记为事件A,“2个强队都分在乙组”记为事件B,事件A可看成“从8个队中抽取4
6、个队，里面包括2个强队”，其概率为P（4）=-^;事件B可看成“从8个队中抽取4个队，里血没有强队”,英概率为P⑻=r4二龙，因此，2个强队分在同-个组的概率:c2C2P(A+B)=P(A)+P(B)卡+才=解法三（利用对立事件的概率计算公式）记“2个强队分在同一个组”为事件A,则“2个组中各有一个强队”为事件A的对立事件瓜，而2个组中各有1个强队，对看成“从8个队中抽取4个队，里而恰有1个强队”这一事件，其概率P（X）rlC3宀色，因此2个强队分在同一个组的概率:C—c'C34P(A)=1-P(A)=1--^=1--【点精】对丁•现行教材屮所涉
7、及的概率问题，都满足古典概率的两个基本假设，即有限性与等可能性•我们在分析求解时，由于考虑问题的角度不同，可以収不同的基木事件空间，只要恰当运用好组合知识，正确地确定基本事件总数与事件A所含基本事件数，就能求出P(A)的疋确答案.下面的几种斛法进一步说明了这一点.解法四：把8个队平均分成两纽(不考虑纟fl的顺序)的分法可以划分为两类，一类是两个强队分在同一组的分法有C；C：利一类是两个强队不在同一组的分法有=和I,因此，所求概率为：p=F=_^_=eC：+C：15+207解法五：A、B两队在八个空位中任站二个空位，共有C：种站法，其中A、B同诂1
8、,2,3,4或5,6,7,8的站法有C；Cj种，故所求概率：DC'C；123p=—=_—==——cl287•解法六：设A队编组已定，则共
