资源描述：
《一道貌似正确向量题错解的剖析与反思》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道貌似正确向量题错解的剖析与反思摘要：平面向量具冇集合与代数形式的双重性，它是屮学数学知识网络的重耍交汇点，也是各类考试命题的重点和热点内容.尽管教师对这块知识的讲解己经十分详尽了,但为什么学生在处理有关向量问题时，总会出现各种问题呢？对一道典型平面向量题的错解进行深入剖析和教学反思显得十分必要.关键词：平面数量积；几何代数形式；错解剖析；教学反思在教学中，如果适当地拓展知识，在解题Z后引导学生研究、思考，,之间的关系与A,B,C三点共线的联系，可得到一般性的结论：若A,B,C三点共线，0为线外一点，贝归入+(1-X),反之也成立这一结论在许多解题屮得到应用，这类依托教材例题的知识
2、点挖掘拓展不仅使学生能打通前后知识间的联系，更渗透了一种研究问题的方法；就考试层面而言，让学生切实感受到某些高考题源于教材的特点，从而提高学生对教材的重视程度.对于教师来说，在口常教学中，应善于用联系的观点研究教材的例题和习题，发挥数学教材的内在力量，使学生学会数学.题目：已知向量n满足：对任意入WR,恒有m-入(m-n)2,则()A.m=n-mB.m=nC・m=n+mD.m=2n此题主耍考查平面向量数量积的相关知识，但从学生解答情况看，对向量数量积相关运算学握不好，将许多实数的结论与数量积运算相混淆.错解：原不等式等价于4(m-n)2入2-8入m?(m-n)+4m2-(m+n)2±
3、0对入WR恒成立，所以AW0,即64(m?(m-n))2-16(m-n)2[4m2-(m+n)2]W0・所以4m2?(m-n)2-4m2?(m-n)2+(m-n)2?(m+n)2W0,所以(m-n)2?(m+n)2W0,即(m-n)2W0.所以m二n,选B.错因剖析：上述计算过程屮，运用了(m?n)2=m2?n2,此等式并不一定成立，只有当m与n共线时才成立，所以不能用这个结论.在平面向量这一章中，我们不能把实数的结论想当然地拿过来用，实际上，实数中的很多结论在向量中是不成立的，女①若a?b二0,则a=0或b二0；②若a?b二c?b,且bHO,则沪c；③若a?b=Xb2,则a=Xb；
4、④a+ba-b=a2-b2；⑤(a?b)2=a2?b2；⑥若a二b,则a?c=b?c.这些结论都是错误的.在平面向量数量积知识运用时，我们要慎重对待课本上没有出现过的结论、定理•如何求解此题呢？我们知道平面向量是数形结合的典型载体，它既有几何的表示，又有代数的运算，针对本题,笔者试着从形的角度来突破.解法一(数形结合)：原不等式即为(1-入)m+入n)对XGR恒成立.记m=,n=,=(1-入)m+入n,即二(1-入)+入，故P,A,B三点共线.如图1,以0A,0B为邻边作平行四边形OADB,C为对角线交点,则=・所以原题可等价转化为，点C为AAOB中边AB的中点，P是直线AB上任一点
5、，若鼻恒成立，则0A与0B之间满足什么关系？由图易知，当丄时，三恒成立，所以AABC为等腰三角形，即OA=OB,所以m二n,选B.通过作业批改，发现有部分学生根据选择题这一题型特点，结合数量积运算，采用特殊值法求解此题，笔者发现也不失为一个好解法.解法二（特殊法）：当入二0时，原不等式即为mM,化简整理得3m22n2+2m?n恒成立，所以cosW恒成立，故3m2-n2^2mn,即m^n.当入二1时，同上可得mWri.由入的任意性知m=n,选B.此解法虽然只取了入二0,1,两个特殊值求解，但在求解过程屮，仍耍求熟练应用平面数量积的基木知识.反思平面向量知识的教学，笔者认为主要问题还是在
6、于“教”,比如在课堂上讲解向量的运算法则时，总觉得有点“轻视”向量运算法则成立的推导过程，“重视”运算法则的应用技巧，从而使学生缺乏対向量运算本质上的认知，只从形式上直观地认为与实数运算相同，导致知识点混淆.还有在平时教学中，有相当多的教师不喜欢使用教材中的例题和习题，认为教材中的例题和习题过于简单，对提高学生的解题能力，训练学生的思维没有太多帮助.通过教学实践，教材中的例题和习题具有很强的基础性、典型性、示范性和迁移性，许多例题虽然简单，但它们反映了相关数学理论的木质属性，蕴涵着重耍的数学思想方法.这些数学思想方法对于解决莫他数学问题有十分显著的现实作用，比如（人教版《数学必修4》
7、第89页例6）已知任意两个非零向量a,b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b,你能判断A,B,C三点之间的位置关系吗？为什么？
